[BZOJ4454][C Language Practice][O(1)GCD]

最新推荐文章于 2020-09-16 23:30:39 发布

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gcd

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该博客介绍了如何在O(N)预处理后，实现O(1)时间复杂度求解最大公约数的方法。针对BZOJ4454问题，博主提出通过分解素数并预处理每个数的最小质因数来优化算法，以解决内存限制下的高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[BZOJ4454][C Language Practice][GCD]

题目大意：

这里写图片描述

思路：

如果对于每两个数都求一次gcd显然会超时。
考虑 $O(N)$ 预处理， $O(1)$ 求gcd。
不妨设 $m = \sqrt n$ ，可以在 $O(m^2)$ 也就是 $O(N)$ 的时间里求出 $m$ 范围内的gcd（辗转相除递推）
$m$ 范围外的数 $X$ ，一定可以分解成 $A*B*C$ 的形式，其中 $A,B,C$ 要么，要么是一个素数。
分解素数可以线性筛预处理出每个数的最小质因数 $d$ ，然后 $A_X,B_X,C_X$ 可以由 $A_{X/d},B_{X/d},C_{X/d}$ 转移得到
Hint
- 数组要开的小心，因为内存范围限制得很紧
- 大部分范围用int就可以，除了答案要用unsigned
- 读入优化的缓存数组开太大会炸掉

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn = 1000010;
inline void read(int &x) {
    scanf("%d", &x);
}
int g[1010][1010], p[Maxn / 10], tot, d[Maxn], n, m, A[Maxn], B[Maxn], C[Maxn];
bool vis[Maxn];
inline void init(int n) {
    for (int i = 0; i <= 1005; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (!i || !j) g[i][j] = i + j;
            else g[i][j] = g[j][i % j];
        }
    for (int i = 0; i <= 1005; i++)
        for (int j = i + 1; j <= 1005; j++) g[i][j] = g[j][i];
    d[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            p[++tot] = i;
            d[i] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= tot; j++) {
            if (i * p[j] > n) break;
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) {
                d[i * p[j]] = d[i];
                break;
            }
            d[i * p[j]] = p[j];
        }
    }
    A[1] = B[1] = C[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int j = i / d[i];
        A[i] = A[j], B[i] = B[j], C[i] = C[j];
        if (A[i] * d[i] <= 1000) A[i] *= d[i];
        else if (B[i] * d[i] <= 1000) B[i] *= d[i];
        else C[i] *= d[i];
    }
}
int X[3], c;
inline int gcd(int a, int b) {
    if (!a || !b) return a + b;
    if (a <= 1000 && b <= 1000) return g[a][b];
    c = 0; int ans = 1, d = 1;
    if (A[a] != 1) X[c++] = A[a];
    if (B[a] != 1) X[c++] = B[a];
    if (C[a] != 1) X[c++] = C[a];
    for (int i = 0; i < c; i++) {
        if (X[i] <= 1000) d = g[X[i]][b % X[i]];
        else if (b % X[i] == 0) d = X[i];
        else d = 1;
        ans *= d; b /= d;
    }
    return ans;
}
int T, a[2010], b[2010];
int main(void) {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    init(1000000);
    read(T);
    while (T--) {
        read(n), read(m);
        for (int i = 0; i < n; i++) read(a[i]);
        for (int i = 0; i < m; i++) read(b[i]);
        unsigned int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < m; j++)
                ans += gcd(a[i], b[j]) ^ i ^ j;
        printf("%u\n", ans);
    }
    return 0;
}

完。

By g1n0st