解递归式的方法总结

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算法设计中经常会用到递归，利用递归式的方法可以清晰地显示算法的整个过程，而对于分析算法的复杂度，解递归式就有了用处，这里的方法来自于《算法导论》。

（一）代换法：

实质上就是数学归纳法，先对一个小的值做假设，然后推测更大的值得正确性。由于是数学归纳法，那么我们就需要对值进行猜测。现在，我们看下面这个例子：

我们先假设一个结论T(n) = O(lg(n - b))，并且假设对T(n / 2上取整)成立（这就是数学归纳法了），那么把T(n / 2上取整)用假设的结论进行代换，我们有T(n) <= lg((n - b)) / 2上取整)

<= lg((n - b) / 2 + 1) + 1 = lg(n - b + 2),对于任意的b >= 2，即满足要求T(n) <= lg(n) = O(lgn)。证毕。

这是一个很简单的例子，但是其中有些事情还是要交代的。

一个是结论的猜测不是一个容易的事情。另一个是在上面的例子中我没有直接下结论说T(n) = O(lg(n))，而是减去了一个常数b，这是为什么呢？答案是：we can prove something stronger for a given value by assuming something stronger for smaller values.还有一点值得说明，请看下面这个例子：

这里出现了sqrt(n)，我们采用变量代换的方法：令n = 2 ^ m,则上式变为T(2 ^ m) = 2T(2 ^ (m / 2) ),再设S(m) = T(2 ^ m)，则得到S(m) = 2S(m / 2) + 1。我们先假设S(m) = m - b <= O(m)，且对S(m / 2)成立，那么S(m) = 2 * (m - b) / 2 + 1 = m - b + 1，对于任意的b >= 1都有S(m) = O(m)，然后回代有T(n) = T( 2 ^ m) = S(m) = O(m) = O(lgn)。

这里我们采用了变量代换的方法。如果假设时，感觉变量不明朗，那么这是一种很有效的方法。

（二）递归树方法：

利用递归树方法求算法复杂度我想最好的例子就是归并排序了，这里我不想拿归并排序做例子，而只是用书中一些更简单形象的例子来说明：

根据上式我们建立递归式T(n) = 3T(n / 4) + cn^2，这里我们抛去上下界函数的影响（sloppiness that we can tolerate），并且把Theta(n ^ 2)用cn^2代替。下面建立递归树模型：

在递归树中，每一个结点都代表一个子代价，每层的代价是该层所有子代价的总和，总问题的代价就是所有层的代价总和。

所以，我们利用递归树求解代价，需要知道什么呢，一个是每一层的代价，一个是层数，就是这两个。

这些，都需要我们用觉察的态度来发现，而事实证明，这不是一件难事，很多情况下是有规律可循的。

我们且看上面这个例子，递归树的构造很简单，当递归调用到边界是，就达到了常量T(1)，达到常量T(1)所用到的递归次数就是整个递归树的深度，我们从图中可以得到第i层的结点的代价为n / ( 4 ^ i )，当n / (4 ^ i) = 1即i = log4(n)时，递归到达了边界，所以，整个递归树的深度就是i = log4(n)。我们要求的总的代价是所有的总和，结果为O(n ^ 2)。计算过程我就不再累述了。但是，递归树并不是都是这样的满的树，也就是不是每一层的结点都是相同的结构，所以我们在构造递归树的时候要仔细看好这一点，才能保证在计算时不会出错。

（三）主方法：

其实应该叫做主定理方法，利用这个方法，我们只需要记住主定理的三种情况，并且在满足一定的条件下，就可以速度解出递归式。主定理的三种情况不在这里给出，一定条件我只说一下我对于多项式大于(或小于)的理解，比如x和1.1x，那么x就是多项式小于1.1x，二者差了一个多项式(0.1x)，而至于x与xlgx就不存在多项式大于（或小于）的关系。

这个方法很直截了当，我在学习这个方法的时候其实就是从课后练习入主。但是三种情况，我却无法牢记。