傅里叶变换的理解-从正弦信号到傅里叶

最新推荐文章于 2025-07-14 15:46:34 发布

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#傅里叶变换

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本文介绍利用欧拉公式和傅里叶级数进行信号分析的方法，包括如何将周期信号分解为正弦波，以及非周期信号的傅里叶变换原理。通过实例展示了如何使用MATLAB编程实现信号的频谱分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

基本概念

欧拉公式

根据欧拉公式正余弦信号还可以被指数形式所表示

角频率或频率为横轴，振幅和相位为纵轴，画一个坐标系，表示这个正弦信号

在新的坐标系（角频率或频率为横轴，，振幅和相位为纵轴）中，以两条线（甚至两个点就够了），表示了时域波形如图2.1所示的信号，或者说，表示了信号所有的特征信息（频率、幅度和相位）。这种表示法被称为频域表示，表示的结果叫做“频谱”，对应于振幅或者相位分别为幅度谱和相位谱。

上述正弦信号只有单一频率，因此其频谱只包含一根“线”（谱线），人们常称其为“单色”信号。

傅里叶级数

公式推导，百度或者数学课本。

任何周期信号都能够由不同谐波的正弦波叠加而成，这由傅里叶发现，因此称之为傅里叶级数

可以通过积化和差，把sin和cos化为一个cos

如果我把一个信号的所有正弦分量的频率算出来画出来，那么就如下图，也叫频谱图

频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱

考察某个信号的所有正弦分量，这些正弦分量覆盖的频率范围，被形象地叫做“频带”。这个范围的大小，就是“带宽”——即频带宽度，如图所示。带宽是衡量信号特性的一个重要指标。

极端情况下，相邻谱线足够接近时，频谱就可表示成连续的曲线了，原来分立的谱线于是简化为曲线中的一个个点。

根据欧拉公式也可以用指数来表示一个周期信号

欧拉公式

因此傅里叶级数还可以表示成以下指数形式

如果我把一个信号的所有指数分量的频率算出来画出来，那么就如下图

可以看到，复频谱除正频率分量外，还包括负频率分量。负频率的出现是数学运算（欧拉公式）的结果，并无物理意义。

总结：

上述正弦信号只有单一频率，因此其频谱只包含一根“线”（谱线），人们常称其为“单色”信号。而在大多数应用场合中，信号是由若干不同频率的单色信号叠加而成的，称为“复合”信号。从频域角度看，复合信号的频谱包含若干条甚至无数条谱线。

MATLAB编程实现：y=10+A*sin(2*pi*10*x)+5*sin(2*pi*20*x);

画图用点*不要用-，不然以为没有采样点。时间-幅度图，频率-幅度图


fs=200;%采样频率  是最高频率的两倍以上
t=1/fs;%采样间隔时长
T=2;%采样窗口长度
A=10;%幅度
N=T*fs% 采样点数 T/t
x=[0:(1/fs):T];%周期
len=length(x)-1;%x=N
y=10+A*sin(2*pi*10*x)+5*sin(2*pi*20*x);
subplot(3,1,1);
plot(x,y,'r*');
xlabel('时间/s');
ylabel('幅度');
subplot(3,1,2);
[f,y]=get_fft(y,fs,N);
plot(f,y);
xlabel('f/Hz');
ylabel('幅度');

function [f, spectrum ] = get_fft(s,Fs,L)
%GAN_FFT 此处显示有关此函数的摘要
%   此处显示详细说明
y=fft(s);
p2=abs(y/L);
p1=p2(1:L/2+1);
p1(2:end-1)=2*p1(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;
spectrum=p1;
 
end
%plot(f,spectrum);