树状数组笔记

树状数组是对一个数组改变某个元素和求和比较实用的数据结构。两中操作都是O(logn)。
传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2^k=i&(i(i-1)) ，也就是i&(-i) 为什么呢？？ 请看下面：

整数运算 x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
因为：x &(-x) 就是整数x与其相反数（负号取反）的按位与：1&1=1,0&1 =0, 0&0 =1。具体分析如下：
□ 当x为0时，x&(-x) 即 0 & 0，结果为0；
□ 当x不为0时，x和-x必有一个为正。不失一般性，设x为正。
●当x为奇数时，最后一个比特为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。最后一位都为1，故结果为 1。
●当x为偶数，且为2的m次方（m>0）时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，左边也都是0（个数由表示 x的字 节数决定），故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的 二进制 表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第 k+1位因为进 位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为 0。结果为2^k，即 x中包含的2的最大次方的因子。
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。 比如x=32，其中2的最大次方因子 为 2^5，故x&(-x)结果为32；当x=28，其中2的最大次方因子为4，故x & (-x)结果为4。当x=24，其中2的最大次方因子为8,故 x&(-x)结果为 8。

下面进行解释：

以i=6为例（注意：a_x表示数字a是x进制表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1)) =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

数组C的具体含义如下图所示：

当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。

排兵布阵

#include<iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[51000];
int b[51000];
int lowbit(int n)
{
    return n & (-n);
}
void Add(int x,int y,int n)
{
    //cout<<"jajfsj"<<endl;
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
        b[i]+=y;
}
void Sub(int x,int y,int n)
{
    for(int i=x; i<=n ; i+=lowbit(i))
        b[i]-=y;
}
int Query(int x,int y,int n)
{
    long long ans1=0;
    long long ans2=0;
    for(int i=y; i>=1; i-=lowbit(i))
        ans1+=b[i];
    for(int i=x-1;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans2+=b[i];
    return ans1-ans2;
}

int  main()
{
    int t;
    cin>>t;
    for(int i=1; i<=t; i++)
    {
        int n;
        printf("Case %d:\n",i);
        cin>>n;
        memset(b,0,sizeof b);
        for(int k=1; k<=n; k++)
        {
            cin>>a[k];
            Add(k,a[k],n);
        }
        //solve(n);
        string s;
        for(cin>>s ; s!="End"; cin>>s)
        {
            if(s=="End")
                continue;
            if(s=="Add")
            {
                int x,y;
                cin>>x>>y;

                Add(x,y,n);
            }
            else if(s=="Sub")
            {
                int x,y;
                cin>>x>>y;

                Sub(x,y,n);
            }
            else
            {
                int x,y;
                cin>>x>>y;
                int ans=Query(x,y,n);
                cout<<ans<<endl;
            }
        }

    }
    return 0;
}