深度优先搜索与广度优先搜索

算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。为了搞清楚图的搜索算法，必须先把图的存储方式理解透彻。

图的存储

图有多种存储方法，最常用的两种分别是：邻接矩阵和出边数组。

邻接矩阵的存储方式如下图所示，底层依赖一个二维数组。

对于无向图来说，如果顶点i与顶点j之间有边，我们就将A[i][j]和 A[j][i]标记1；对于有向图来说，如果顶点i到顶点j之间，有一条箭头从顶点i指向顶点j的边，那我们就将A[i][j]标记为1。同理，如果有一条箭头从顶点j指向顶点i的边，我们就将A[j][i]标记为1。对于带权图，数组中就存储相应的权重。

用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间。对于无向图来说，如果A[i][j]等于1，那A[j][i]也肯定等于1。实际上，我们只需要存储一个就可以了。也就是说，无向图的二维数组中，如果我们将其用对角线划分为上下两部分，那我们只需要利用上面或者下面这样一半的空间就足够了，另外一半白白浪费掉了。

针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，出边数组可以避免空间浪费。如下图所示，每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点。

例如上图中，我们要确定，是否存在一条从顶点2到顶点4的边，那我们就要遍历顶点2的所有出边，看出边是否能到达顶点4。所以，比起邻接矩阵的存储方式，在出边数组中查询两个顶点之间的关系就没那么高效了。

//无向图
public class UndirectedGraph { 
	/**
	 * 顶点的个数
	 */
	private int v;
	/**
	 * 邻接表(出边数组）
	  */
	private ArrayList<Integer>[] edges;

	public UndirectedGraph(int v) {
	  this.v = v;
	  edges = new ArrayList[v];
	  for (int i = 0; i < v; ++i) {
	    edges[i] = new ArrayList<>();
	  }
	}
	
	/**
	 * 对于无向图，其实就是点s到点t的两条边
	 * 用两条有向边代表无向图中的一条边
	 */
	public void addEdge(int s, int t) {
	  edges[s].add(t);
	  edges[t].add(s);
	}
}

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。例如下图中演示了用深度优先搜索的思想寻找一条从点s到点c的路径的方法。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是点s到点c的最短路径。

我把上面的过程用递归的形式写下来如下。深度优先搜索代码里，有个比较特殊的全局变量found，它的作用是，当我们已经找到终止点之后，我们就不再递归地继续查找了。

//全局变量或者类成员变量
boolean found = false;
private int  v;
private ArrayList<Integer>[] edges;

public void existPath(int start, int t) {
    boolean[] visited = new boolean[v];
    recurDfs(start, t, visited);
}

private void recurDfs(int current, int t, boolean[] visited) {
    if (found == true) {
        return;
    }
    visited[current] = true;
    if (current == t) {
        found = true;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < edges[current].size(); ++i) {
        int q = edges[current].get(i);
        if (!visited[q]) {
            recurDfs(q, t, visited);
        }
    }
}

理解了深度优先搜索算法之后，深度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？从示意图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是O(E)，E表示边数。深度优先搜索算法的消耗内存主要是visited、数组和递归调用栈。visited数组的大小跟顶点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是O(V)。

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索直观地讲，就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来并不难，示意图如下。

尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。实际上，这样得到的一条路径就是从起始点到指定点的最短路径。

private boolean existPathBfs(int current, int t) {
    if (current == t) {
        return true;
    }
    visited[current] = true;
    Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
    queue.add(current);
    while (!queue.isEmpty()) {
        int point = queue.poll();
        for (int i = 0; i < edges[point].size(); ++i) {
            int q = edges[point].get(i);
            if (!visited[q]) {
                if (q == t) {
                    return true;
                }
                queue.add(q);
                visited[q] = true;
            }
        }
    }
    return false;
}

BFS代码中的queue是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当我们访问到第k层的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点来找第k+1层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？最坏情况下，终止顶点t离起始顶点s很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E肯定要大于等于V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为O(E)。空间消耗主要在几个辅助变量visited数组、queue队列上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是O(V)。

DFS与BFS的实际应用

样题一：岛屿的数量

给你一个由’1’(陆地)和 ‘0’(水)组成的的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。岛屿总是被水包围，并且每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。此外，你可以假设该网格的四条边均被水包围。

DFS的思路：将二维网格看成一个无向图，竖直或水平相邻的点’1’之间有边相连。为了求出岛屿的数量，我们可以扫描整个二维网格。如果一个位置为’1’，则以其为起始节点开始进行深度优先搜索。在深度优先搜索的过程中，每个搜索到的’1’都会被重新标记。

最终岛屿的数量就是我们进行深度优先搜索的次数。

class Solution {
    
    //垂直水平四个方向组成的方向数组
    private int[] dx = {-1,0,1,0};
    private int[] dy = {0,1,0,-1};
    private boolean[][] visited;

    public int numIslands(char[][] grid) {
        visited = new boolean[grid.length][grid[0].length];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < grid.length; i++) {
            for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) {
                if (grid[i][j] == '1' && !visited[i][j]) {
                    //以grid[i][j]这个点为起点，作深度优先遍历
                    dfs(grid, i, j);
                    //递归的次数就是图中陆地独立成片的块数
                    ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

    //从点(x,y)出发，深度优先遍历
    private void dfs(char[][] grid, int x, int y) {
        //标记当前点grid[x][y]已经访问过了
        visited[x][y] = true;
        //然后遍历grid[x][y]点的所有出边，这里就是上下左右4个
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nx = x + dx[i];
            int ny = y + dy[i];
            //判断坐标合法时，才继续遍历
            if(nx < 0 || nx >= grid.length || ny < 0 || ny >= grid[0].length) {
                continue;
            }
            //只遍历没访问过且为陆地的点
            if (grid[nx][ny] == '1' && !visited[nx][ny]) {
                dfs(grid, nx, ny);
            }
        }
    }
}

同样地，我们也可以使用广度优先搜索代替深度优先搜索。

BFS的思路：为了求出岛屿的数量，我们可以扫描整个二维网格。如果一个位置为‘1’，则将其加入队列，开始进行广度优先搜索。在广度优先搜索的过程中，从原点出发能到达的每个点‘1’都会被重新标记。直到队列为空，搜索结束。

最终岛屿的数量就是我们进行广度优先搜索的次数。

class Solution {

    //垂直水平四个方向组成的方向数组
    private int[] dx = {-1,0,1,0};
    private int[] dy = {0,1,0,-1};
    private boolean[][] visited;

    public int numIslands(char[][] grid) {
        visited = new boolean[grid.length][grid[0].length];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < grid.length; i++) {
            for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) {
                if (grid[i][j] == '1' && !visited[i][j]) {
                    //以grid[i][j]这个点为起点，作广度优先遍历
                    bfs(grid, i, j);
                    ans++;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

    //从点(x,y)出发，广度优先遍历
    private void bfs(char[][] grid, int x, int y) {
        //标记点(x,y)为已经访问过了
        visited[x][y] = true;
        Queue<Pair> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.add(new Pair(x, y));
        while (!queue.isEmpty()) {
            Pair pair = queue.poll();
            //然后遍历grid[x][y]点的所有出边，这里就是上下左右4个
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int nx = pair.row + dx[i];
                int ny = pair.column + dy[i];
                //判断坐标合法时，才继续遍历
                if(nx < 0 || nx >= grid.length || ny < 0 || ny >= grid[0].length) {
                    continue;
                }
                //只遍历没访问过且为陆地的点
                if (grid[nx][ny] == '1' && !visited[nx][ny]) {
                    queue.add(new Pair(nx, ny));
                    //入队时标记visited数组
                    visited[nx][ny] = true;
                }
            }
        }
    }

    class Pair {
        int row;
        int column;
        public Pair(int row, int column) {
            this.row = row;
            this.column = column;
        }
    }
}

样题二：被包围的区域

注意关键解释：被围绕的区域不会存在于边界上，换句话说，任何边界上的 ‘O’ 都不会被填充为 ‘X’。 任何不在边界上，或不与边界上的 ‘O’ 相连的 ‘O’ 最终都会被填充为 ‘X’。如果两个元素在水平或垂直方向相邻，则称它们是“相连”的。

问题可以转化为：从边界上的‘O’出发所有能被访问到的‘O’都不能被填充为’X’，剩下的‘O’可以被填充为’X’，这是一个搜索问题。

思路：将所有存在于边界上的点’O’都打上标记，例如标记为’#‘，然后从这些点出发作搜索，所有能到达的点’O’也打上标记’#‘，最后将矩阵中所有标记为’#‘的点都填充为’O’，所有为’O’的点都填充为’X’。

DFS思路下的代码。

class Solution {

    private int[] dx = {-1,0,1,0};
    private int[] dy = {0,1,0,-1};
    private boolean[][] visited;

    //寻找和边界连通的O，如果这个O与边界连通，那么不能替换，否则要替换
    public void solve(char[][] board) {
        visited = new boolean[board.length][board[0].length];
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            for (int j = 0; j < board[0].length; j++) {
                if (board[i][j] == 'X') {
                    continue;
                }
                //判断点是否在边界上,如果在边界上并且是O，并且没访问过，就访问一次
                boolean isEdge = (i == 0 || j == 0 || i == board.length - 1 || j == board[0].length - 1);
                if (isEdge && board[i][j] == 'O') {
                    dfs(board, i, j);
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            for (int j = 0; j < board[0].length; j++) {
                if (board[i][j] == 'O') {
                    board[i][j] = 'X';
                } else if (board[i][j] == '#') {
                    board[i][j] = 'O';
                    continue;
                }
            }
        }
    }

    //从点(x,y)出发作深度优先遍历，访问从点(x,y)所能到达的所有点
    private void dfs(char[][] board, int x, int y) {
        if (board[x][y] == '#') {
            return;
        }
        visited[x][y] = true;
        board[x][y] = '#';
        //然后遍历board[x][y]的所有点，这里就是上下左右4个
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nx = x + dx[i];
            int ny = y + dy[i];
            //判断坐标合法时，才继续遍历
            if(nx < 0 || nx >= board.length || ny < 0 || ny >= board[0].length) {
                continue;
            }
            //只遍历没访问过且为'O'的点
            if (board[nx][ny] == 'O' && !visited[nx][ny]) {
                dfs(board, nx, ny);
            }
        }
    }
}

BFS思路下的代码。

class Solution {

    private int[] dx = {-1,0,1,0};
    private int[] dy = {0,1,0,-1};
    private boolean[][] visited;

    //寻找和边界连通的O，如果这个O与边界连通，那么不能替换，否则要替换
    public void solve(char[][] board) {
        visited = new boolean[board.length][board[0].length];
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            for (int j = 0; j < board[0].length; j++) {
                if (board[i][j] == 'X') {
                    continue;
                }
                //判断点是否在边界上,如果在边界上并且是'O'，并且没访问过，就访问一次
                boolean isEdge = (i == 0 || j == 0 || i == board.length - 1 || j == board[0].length - 1);
                if (isEdge && board[i][j] == 'O') {
                    bfs(board, i, j);
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            for (int j = 0; j < board[0].length; j++) {
                if (board[i][j] == 'O') {
                    board[i][j] = 'X';
                } else if (board[i][j] == '#') {
                    board[i][j] = 'O';
                    continue;
                }
            }
        }
    }

    //从点(x,y)出发作深度优先遍历，访问从点(x,y)所能到达的所有点
    private void bfs(char[][] board, int x, int y) {
        visited[x][y] = true;
        board[x][y] = '#';
        Queue<Pair> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.add(new Pair(x, y));
        while (!queue.isEmpty()) {
            Pair pair = queue.poll();
            //然后遍历board[x][y]的所有点，这里就是上下左右4个
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int nx = pair.row + dx[i];
                int ny = pair.column + dy[i];
                //判断坐标合法时，才继续遍历
                if(nx < 0 || nx >= board.length || ny < 0 || ny >= board[0].length) {
                    continue;
                }
                //只遍历没访问过且为'O'的点
                if (board[nx][ny] == 'O' && !visited[nx][ny]) {
                    queue.add(new Pair(nx, ny));
                    visited[nx][ny] = true;
                    board[nx][ny] = '#';
                }
            }
        }
    }

    class Pair {
        int row;
        int column;
        public Pair(int row, int column) {
            this.row = row;
            this.column = column;
        }
    }
}

样题三：省份数量

思路：给出的矩阵isConnected其实就是典型的邻接矩阵，这种图的存储方式很简洁。对于无向图，矩阵按对角线对称。问题可以转化成求无向图中连通块的个数，顶点数量为n，顶点的编号为0到n-1，矩阵isConnected描述了各个顶点的连接情况（矩阵中有一半信息是冗余的）。只需要从一个顶点出发遍历其能到达的其他所有顶点，当前顶点与其能到达的其他顶点构成连通块，统计这样的连通块的个数。

DFS与BFS的思路都能解决此问题，代码如下：

class Solution {
    //在无向图中，若从顶点a到顶点b有路径,则称a和b是连通的。
    //若无向图中，任意两个不同的顶点都连通，则称无向图为连通图
    //求无向图中连通块数量
    public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
        int ans = 0;
        //初始化
        int v = isConnected.length;
        boolean[] visited = new boolean[v];

        //无向图中共有v个顶点，顶点编号为0到v-1，找图中连通块的数量
        for (int i = 0; i < v; i++) {
            //已经访问过的不再访问
            if (!visited[i]) {
            	//连通块的数量就是dfs或bfs搜索的次数
                // dfs(isConnected, i, visited);
                bfs(isConnected, i, visited);
                ans++;
            }
        }

        return ans;
    }

    //深度优先搜索
    private void dfs(int[][] isConnected, int cur, boolean[] visited) {
        //已经访问过了，不再访问
        if (visited[cur]) {
            return;
        }
        visited[cur] = true;
        //从点cur出发，遍历其能到达的所有其他点，cur自己除外
        for (int i = 0; i < isConnected[0].length; i++) {
            if (i != cur && isConnected[cur][i] == 1) {
                dfs(isConnected, i, visited);
            }
        }
    }

    //广度优先搜索
    private void bfs(int[][] isConnected, int cur, boolean[] visited) {
        //已经访问过了，不再访问
        if (visited[cur]) {
            return;
        }
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        visited[cur] = true;
        queue.add(cur);
        //从顶点cur出发，遍历其能到达的其他点
        while (!queue.isEmpty()) {
            Integer vertex = queue.poll();
             //从顶点cur出发，遍历其能到达的并且没有访问过的其他点
             for (int i = 0; i < isConnected[0].length; i++) {
                 if (i != vertex && isConnected[vertex][i] == 1 && visited[i] == false) {
                     queue.add(i);
                     visited[i] = true;
                 }
             }
        }
    }
}

样题四：马走日

马在中国象棋以日字形规则移动，给定一个大小为n*m的棋盘，并指定一个初始坐标（x，y），要求不能重复经过棋盘上的同一个点，计算马可以有多少种途径可以遍历棋盘上的所有点，输出一个整数，表示马能遍历棋盘所有点的途径总数，若无法遍历所有点则输出0。输入的测试数据为一行四个整数，分别表示棋盘的大小以及初始位置坐标n、m、x、y。

样例输入：

5 4 0 0

样例输出：

32

思路：使用深搜去搜索，每走到一个点就做上标记，在一条路走到底的时候，取消已遍历节点的标记，标记的节点数大于棋盘上的总节点数则为一种遍历方法，停止遍历，累计遍历方法即可。

public class Solution {

     // 方向数组，马走日，一共8种走法
     public static final int[][] directions = new int[][]{{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{2,1},{2,-1},{-2,1},{-2,-1}};
     private int ans = 0;
     public int path(int n, int m, int x, int y) {
         ans = 0;
         boolean[][] visited = new boolean[n][m];
         visited[x][y] = true;
         dfs(n, m, x, y, visited, 1);
         return ans;
     }

     public void dfs(int n, int m, int x, int y, boolean[][] visited, int step) {
         if (step >= n * m) {
             // 已经遍历了所有的点，方案加1
             ans++;
             return ;
         }
         visited[x][y] = true;
         for (int[] d : directions) {
             int nx = x + d[0];
             int ny = y + d[1];
             if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) {
                 continue;
             }
             // 已经访问过这个点
             if (visited[nx][ny]) {
                 continue;
             }
             // 标记访问
             visited[nx][ny] = true;
             dfs(n, m, nx, ny, visited, step + 1);
             // 回溯修改
             visited[nx][ny] = false;
         }
     }
 }

样题五：马走日-最小步数

马在中国象棋以日字形规则移动，给定一个大小为n*m的棋盘，并指定一个初始位置（x，y）和目标坐标（targetX,targetY），求出马从最初位置到目标位置所走的最少步数，若无法走到目标位置返回-1。

样例输入，棋盘是8X8，初始位置为(0,0)，目标位置为(2,0)

8 8 0 0 2 0

样例输出，最小步数为2

2

思路：采用BFS的方法。1、把起点放入到队列中；2、队列非空，取下一次可以跳到的位置，如果这个位置此前没有被访问，这表示可以进行访问，因为存在回溯的情况，把位置加入到队列中；3、如果此时可以调的位置等于目标位置，则输出最短步长。BFS遍历一遍棋盘，时间复杂度 O(n*m)。

public class Solution {

    public static class Node {
        int row;
        int column;
        int step;
        public Node(int row, int column, int step) {
            this.row = row;
            this.column = column;
            this.step = step;
        }
    }

    // 方向数组，马走日，一共8种走法
    public static final int[][] directions = new int[][]{{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{2,1},{2,-1},{-2,1},{-2,-1}};

    public int shortestPath(int n, int m, int startX, int startY, int targetX, int targetY) {
        boolean[][] visited = new boolean[n][m];
        return bfs(n, m, startX, startY, targetX, targetY, visited);
    }

    public int bfs(int n, int m, int startX, int startY, int targetX, int targetY, boolean[][] visited) {
        Queue<Node> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.add(new Node(startX, startY, 0));
        visited[startX][startY] = true;
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node cur =  queue.poll();
            // 走到了终点
           if (cur.row == targetX && cur.column == targetY) {
                return cur.step;
           }
           for (int[] d : directions) {
               int nx = cur.row + d[0];
               int ny = cur.column + d[1];
               if (nx < 0 || nx >= n  || ny < 0 || ny >= m) {
                   continue;
               }
               if (visited[nx][ny]) {
                   continue;
               }
               // 标记该点已经走过了
               visited[nx][ny] = true;
               queue.add(new Node(nx, ny, cur.step + 1));
           }
        }
        return -1;
    }
}

小结

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。广度优先搜索需要借助队列来实现。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。二者是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A*、IDA*等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。