递归与递推 普通排队问题及带约束条件的排队问题 c代码

先看下题目：

电影院买票排队，票价50，排队的人中携带50元的有20个人，携带100的有10个人，售票处开始时没有余额，
问最多有多少种排队方式使得售票处能够找的开(携带相同数额的人交换位置算一种排队方式)。

画图的话比较容易理解，二叉图，根节点为50，然后往下排列，从根节点到叶子节点即为一个排队方式。设f(m,n)，其中m为50的个数，n为100的个数，f(m,n)表示排队方式，当m>=20或者n>=10时，排队结束，这是再插入节点只有一种方式，当m>n时，有两个子节点，分别时50和100，当m==n时，只有一个节点，即50节点。这样能够得到递归公式。

int f(int m50, int n100, int m, int n)
{
	if (m50 == m || n == n100)
		return 1;
	else if (m50 > n100)
		return f(m50+1, n100, m, n) + f(m50, n100+1, m, n);
	else if (m50 == n100)	
		return f(m50+1, n100, m, n);
	else
		printf("逻辑错误！");
	return 0;	
}

二叉图：

 

通过递归公式也很容易得到递推的方法，f[m][n] = f[m-1][n] + f[m][n-1],这里m>=n，边界条件f[m][0] = 1, f[m][n] = 0（m< n）。

这里最好使用递推来解决，因为递推使用两层循环，时间复杂度为O(n^2)，使用递归的话时间复杂度为O(3^n)，差距太大。

这道题还有一种扩展，扩展题目增加了约束条件，"第五位必须是50，第八位必须是100"，如果还是使用二叉图来看可能不是那么容易分析，我们可以使用下面的图来分析：

横坐标为50，纵坐标为100，坐标图上的点f[m][n]表示排队方式，约束条件是在f(4,1)和f(3,2)这个点，没有约束条件情况下

f(4,1) = f(4,0) + f(3,1)，f(3,2) = f(3,1) + f(2,2)，即有从左到右和从下到上两种方式，根据约束条件，到达f(4,1)这个点不能是f(4,0)，因为第五位必须是50，同理可以看到f(3,2)不能由f(3,1)得到，对于第八位是100的约束，可以采用同样的分析方法，在递归或者递推处理中针对这几个点做特殊处理。带约束条件的扩展题通过图2可能更容易理解。

下面是普通排队和扩展题的c代码：

/* 
 *	排队问题
 */

#include <stdio.h>
#define NUM 100

int f(int m50, int n100, int m, int n)
{
	if (m50 == m || n == n100)
		return 1;
	else if (m50 > n100)
		return f(m50+1, n100, m, n) + f(m50, n100+1, m, n);
	else if (m50 == n100)	
		return f(m50+1, n100, m, n);
	else
		printf("逻辑错误！");
	return 0;	
}

void main()
{
	int i,j,m,n,k[NUM][NUM]={0};

	//递归处理
	printf("分别输入持有50和100币值的人数：");	scanf("%d %d", &m, &n);
	printf("当持有50的人数为%d，持有100的人数为%d，总的排队方式有：%d\n",m,n, f(1,0,m,n));

	//递推方式
	for (i = 1; i <= m; i++)
		k[i][0] = 1;

	for (j = 1; j <= n; j++)	
	for (i = 0; i < j; i++)
		k[i][j] = 0;

	for (i = 1; i <= m; i++)
	for (j = 1; j <= n && j <= i; j++)
		k[i][j] = k[i-1][j] + k[i][j-1];
		
	printf("当持有50的人数为%d，持有100的人数为%d，总的排队方式有：%d\n",m,n, k[m][n]);
}

带约束条件的扩展题：

/*
 *  带约束条件的排队问题
 */

#include <stdio.h>

#define NUM 100

void main()
{
	int i,j,m,n,k[NUM][NUM]={0};
	
	printf("分别输入持有50和100币值的人数："); scanf("%d %d", &m, &n);

	//递推方式
	for (i = 1; i <= 7; i++)
		k[i][0] = 1;

	for (j = 1; j <= n; j++)	
	for (i = 0; i < j; i++)
		k[i][j] = 0;

	for (i = 1; i <= m; i++)
	for (j = 1; j <= n && j <= i; j++)
	{
		if ((i == 4 && j == 1) || (i == 3 && j == 2) )
			k[i][j] = k[i-1][j];
		if((i == 7 && j == 1) ||(i == 6 && j == 2)||(i == 5 && j == 3))
			k[i][j] = k[i][j-1];
		else	
			k[i][j] = k[i-1][j] + k[i][j-1];
	}
		
	printf("当持有50的人数为%d，持有100的人数为%d，总的排队方式有：%d\n",m,n, k[m][n]);
}
 

参考资料：

1. 数据结构 : C语言版/ 严蔚敏，吴伟民编著

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