学习过程中得一些算法及理解记录20220617

funzmg

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分类专栏：学习历程算法文章标签：学习线性代数矩阵算法

于 2022-06-16 23:25:32 首次发布

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本文详细介绍了牛顿迭代法在求解一元、二元、三元及多元方程根的问题上，以及在寻找函数极值时的应用。同时，深入探讨了矩阵的基础知识，包括行列式的定义、余子式、代数余子式、行列式公式、伴随矩阵以及矩阵求逆的方法，特别给出了2x2和3x3矩阵的求逆公式。这些理论与方法在解决实际问题中具有广泛应用。

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2.求根F(X)极值问题（F'(x)=0）（牛顿迭代法）

1.求根F(X)=0的解（牛顿迭代法）

1.1一元牛顿迭代法

x为自变量，问题描述为：

$f\left ( x \right ) = 0$

$dfx$ 是函数 $f\left ( x \right )$ 对 $x$ 的一阶导数

迭代公式：

$x_{i+1} = x_{i} -\frac{f\left ( x_{i} \right )}{dfx\left( x_{i} \right ) }$

1.2二元牛顿迭代法

x,y为自变量， f(x,y)=0 ,g(x,y)=0的根为（xi+1，yi+1），问题描述为：

$\left\{\begin{matrix} f\left ( x,y \right )=0\\ g\left ( x,y \right )=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} f\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\end{bmatrix}$

令 $X^{k}=\begin{bmatrix} x^{k} & y^{k}\end{bmatrix}^{T}$ ， $F^{Xk}=\begin{bmatrix} f^{xk,yk} & g^{xk,yk} \end{bmatrix}^{T}$

$dfx$ 为 $f\left ( x,y \right )$ 对于 $x$ 的一阶偏导数

$dfy$ 为 $f\left ( x,y \right )$ 对于 $y$ 的一阶偏导数

$dgx$ 为 $g\left ( x,y \right )$ 对于 $x$ 的一阶偏导数

$dgy$ 为 $g\left ( x,y \right )$ 对于 $y$ 的一阶偏导数

迭代公式描述为

${\color{Red} X^{k+1}=X^{k}- \left ( F{}'\left ( X^{k} \right )\right )^{-1} \bullet F\left ( X^{k} \right )}$

其中， $F{}'\left ( X^{k} \right )$ 为向量 $F\left ( X^{k} \right )$ 的雅克比矩阵，即

$F{}'\left ( X^{k} \right )=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dfx & dfy\\ dgx & dgy \end{bmatrix}$

矩阵求逆 $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end{bmatrix}$

$\left [F{}'\left ( X^{k} \right ) \right ]^{-1} = \frac{1}{dfx\cdot dgy - dfy\cdot dgx} \begin{bmatrix} dgy & -dfy\\ -dgx & dfx\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x^{k+1}\\ y^{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x^{k}\\ y^{k}\end{bmatrix}- \frac{1}{dfx\cdot dgy - dfy\cdot dgx} \begin{bmatrix} dgy & -dfy\\ -dgx & dfx\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} f\\ g\end{bmatrix}$

${\color{Red}\begin{bmatrix} x^{k+1}\\ y^{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x^{k}\\ y^{k}\end{bmatrix}- \frac{1}{dfx\cdot dgy - dfy\cdot dgx} \left.\begin{matrix} \begin{bmatrix} f*dgy-g*dfy\\ -f*dgx+g*dfx\end{bmatrix} \end{matrix}\right|_{xk,yk} }$

1.3 三元牛顿迭代法

$X^{k}=\begin{bmatrix} x^{k} \\ y^{k}\\ z^{k}\end{bmatrix}$ ， $F^{Xk}=\begin{bmatrix} f^{xk,yk,zk} \\ g^{xk,yk,zk} \\ w^{xk,yk,zk}\end{bmatrix}$

求解 $F^{Xk}=0$ 的解，迭代公式为

${\color{Red} X^{k+1}=X^{k}- \left ( F{}'\left ( X^{k} \right )\right )^{-1} \bullet F\left ( X^{k} \right )}$

其中利用伴随矩阵求逆公式，即 $A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^{* }$ ，则 $\left ( F{}'\left ( X^{k} \right )\right )^{-1}= \frac{1}{ \left | F{}' \right | } \left ( F{}' \right )^{*}$

${F}'\left ( X \right )$ 为向量 $F\left ( X \right )$ 3*1的雅克比矩阵3*3

$F{}'\left ( X^{k} \right )= = \begin{bmatrix} dfx & dfy & dfz\\ dgx & dgy & dgz\\ dwx & dwy & dwz\end{bmatrix}$

$\left |F{}' \right |= \left |\begin{matrix} dfx & dfy & dfz\\ dgx & dgy & dgz\\ dwx & dwy & dwz \end{matrix} \right | \\ \hspace*{1.3cm}=dfx \left |\begin{matrix} dgy & dgz\\ dwy & dwz \end{matrix} \right | -dfy \left |\begin{matrix} dgx & dgz\\ dwx & dwz \end{matrix} \right |+dfz \left |\begin{matrix} dgx & dgy \\ dwx & dwy \end{matrix} \right | \\ \hspace*{1.3cm} =dfx(dgy*dwz-dgz-dwy)\\ \hspace*{1.8cm}-dfy(dgx*dwz-dgz*dws)\\ \hspace*{1.8cm}+dfz(dgx*dwy-dgy*dwx)$

根据伴随矩阵性质和计算公式得

$\left ( F{}' \right )^{*}=\begin{bmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{bmatrix}$

$\left (F{}' \right )^{-1}=\frac{1}{\left | \left (F{}' \right ) \right |}\left (F{}' \right )^{* }$

1.4 多元牛顿迭代法

多元牛顿迭代法的迭代公式如下：

$X^{k+1}=X^{k}-\left ( F{}'\left ( X^{k} \right )\right )^{-1} \bullet F\left ( X^{k} \right )$

2.求根F(X)极值问题（F'(x)=0）（牛顿迭代法）

3.矩阵相关的知识点

3.1 矩阵、行列式基本定义

向量

$X=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n}\end{bmatrix}$ ，

非线性方程组

$\left\{\begin{matrix} f_{1}\left ( x1,x2,...,xn \right )=0\\ f_{2}\left ( x1,x2,...,xn \right )=0\\ ...\\ f_{n}\left ( x1,x2,...,xn \right )=0\end{matrix}\right.$

其中f1、f2、...、fn均为(x1，x2，...，xn)的多元函数，例如f1=1*x1+2*x2+...+n*xn

令

$F=\begin{bmatrix} f_{1}\left ( X \right )\\ f_{2}\left ( X \right )\\ ...\\ f_{N}\left ( X \right )\end{bmatrix}$

则非线性方程组可转化

$F\left ( X \right ) = 0$

F的雅克比矩阵，Jacobi矩阵为

$F{}'\left ( X \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{\partial f1}{\partial x1} & \frac{\partial f1}{\partial x2}& ...& \frac{\partial f1}{\partial xn}\\ \frac{\partial f2}{\partial x1}& \frac{\partial f2}{\partial x2}& ...& \frac{\partial f2}{\partial xn}\\ \vdots & \vdots& & \vdots\\ \frac{\partial fn}{\partial x1}& \frac{\partial fn}{\partial x2}& ...& \frac{\partial fn}{\partial xn}\end{matrix}\right.$

$F{}'\left ( X \right )=\begin{vmatrix} dfx & dfy& dfz\\ & & \\ & & \end{vmatrix}$

矩阵求逆公式 ${\color{Red} A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^{* }}$ ，其中 $\left | A \right |$ 为矩阵A的行列式， $A^{* }$ 为矩阵A的伴随矩阵

3.1.1 2×2方阵的行列式求解公式

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

$det\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc$

3.1.2 3×3方阵行列式求解公式

$\left |\begin{matrix} a1 & b1& c1\\ a2& b2& c2\\ a3& b3& c3\end{matrix} \right | =a1\left |\begin{matrix} b2& c2\\ b3& c3\end{matrix} \right | - b1\left |\begin{matrix} a2& c2\\ a3& c3\end{matrix} \right | + c1\left |\begin{matrix} a2& b2\\ a3& b3\end{matrix} \right | \\ \hspace*{2.8cm} =a1(b2*c3-c2*b3)-\\ \hspace*{3.4cm}b1(a2*c3-c2*a3)+\\ \hspace*{3.4cm}c1(a2*b3-b2*a3)$

3.2 余子式

把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。例如：

$D=\begin{vmatrix} a11& a12& a13& a14\\ a21& a22& a23& a24 \\ a31& a32& a33& a34 \\ a41& a42& a43& a44 \end{vmatrix}$

余子式Mij，M(2,3)为

$M_{2,3}=\begin{vmatrix} a11& a12& a14\\ a31& a32& a34 \\ a41& a42& a44 \end{vmatrix}$

3.3 代数余子式

记Aij=(-1)^(i+j)Mij，叫做元素aij的代数余子式。代数余子式Aij，A(2,3)为

$A_{2,3}={\color{Red} (-1)^{2+3}}M_{2,3}=-M_{2,3}$

3.4 行列式公式

一个n×n矩阵的行列式等于其任意一行(或一列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即 :

$det(D)=\left | D \right | \\=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ =\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{i,j}\\ =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{i,j}$

3.5 伴随矩阵

方阵D的行列式 $\left | D \right |$ ， $\left | D \right |$ 的每个元素 $a_{i,j}$ 的代数余子式 $A_{i,j}$ 所构成的如下矩阵就是伴随矩阵，

i为行数，j为列数，即

$A^{*}=\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{2,1}& ...& A_{n,1}\\ A_{1,2} & A_{2,2}& ...& A_{n,2} \\ ...& ...& ...& ...\\ A_{1,n} & A_{2,n}& ...& A_{n,n} \end{bmatrix}$

注意行和列的对应顺序，矩阵A*是A的伴随矩阵。

3.6 矩阵求逆公式

${\color{Red} D^{-1}=\frac{1}{\left | D \right |}D^{* }}$

3.6.1 2*2矩阵求逆

$D=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ 的伴随矩阵为D*

$\left | D \right | = \frac{1}{ad-bc}$

$D^{*}=\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{2,1}\\ A_{1,2} & A_{2,2} \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}M_{1,1} & (-1)^{2+1}M_{2,1}\\ (-1)^{1+2}M_{1,2} & (-1)^{2+2} M_{2,2} \end{bmatrix} \\ \hspace*{3.9cm}=\begin{bmatrix} M_{1,1} & -M_{2,1}\\ -M_{1,2} & M_{2,2} \end{bmatrix} \\ \hspace*{3.9cm} =\begin{bmatrix} a_{2,2} & -a_{1,2}\\ -a_{2,1} & a_{1,1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

$D^{-1}=\frac{1}{\left | D \right |}D^{* }=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

3.6.2 3*3矩阵求逆

$D= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ 的伴随矩阵为D*

$\left |D \right |= a_{11}\left ( a_{22}\cdot a_{33} - a_{23}\cdot a_{32} \right)\\ \hspace*{1.3cm}-a_{12}\left ( a_{21}\cdot a_{33} - a_{23}\cdot a_{31} \right) \\ \hspace*{1.3cm}+a_{13}\left ( a_{21}\cdot a_{32} - a_{22}\cdot a_{31} \right)$

$D^{*}=\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{2,1}& A_{3,1}\\ A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2}\\ A_{1,3} & A_{2,3}& A_{3,3}\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}M_{1,1} & (-1)^{2+1}M_{2,1} & (-1)^{3+1}M_{3,1} \\ (-1)^{1+2}M_{1,2} & (-1)^{2+2} M_{2,2} & (-1)^{3+2}M_{3,2} \\ (-1)^{1+3}M_{1,3} & (-1)^{2+3}M_{2,3} & (-1)^{3+3}M_{3,3} \\ \end{bmatrix} \\ \hspace*{5.1cm}=\begin{bmatrix} M_{1,1} & -M_{2,1} & M_{3,1} \\ -M_{1,2} & M_{2,2} & -M_{3,2} \\ M_{1,3} & -M_{2,3} & M_{3,3} \\ \end{bmatrix} \\ \hspace*{3.9cm}$

$D^{*}=\hspace*{3.5cm}=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a22 & a23 \\ a32 & a33 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a12 & a13 \\ a32 & a33 \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} a12 & a13 \\ a22 & a23 \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a21 & a23 \\ a31 & a33 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a11 & a13 \\ a31 & a33 \end{vmatrix}& -\begin{vmatrix} a11 & a13 \\ a21 & a23 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a21 & a22 \\ a31 & a32 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a11 & a12 \\ a31 & a32 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a11& a21\\ a12 &22 \end{vmatrix} \\ \end{bmatrix}$

$D^{-1}=\frac{1}{\left | D \right |}D^{* }$