4、卡尔曼滤波中的相关系统和测量噪声处理

卡尔曼滤波中的相关系统和测量噪声处理

1 引言

在卡尔曼滤波的应用中，处理相关系统和测量噪声是至关重要的。这不仅影响滤波器的性能，还决定了估计的精度。本文将详细介绍如何在存在相关噪声的情况下构建最优估计，以及如何在实际应用中实现这些理论。通过逐步深入的技术分析，我们将探索卡尔曼滤波方程的推导及其在实时系统中的应用。

2 仿射模型

在处理带有相关噪声的系统时，仿射模型提供了一种有效的方法。考虑一个线性系统，其状态方程和观测方程如下：

[
x_{k+1} = Ax_k + Bu_k + \xi_k
]
[
v_k = Cx_k + Du_k + \eta_k
]

其中，(\xi_k) 和 (\eta_k) 分别是系统噪声和测量噪声。为了处理这些噪声之间的相关性，我们引入了一个额外的参数向量 (h) 和一个常数矩阵 (H)。此时，最优估计 (x) 的条件是：

[
E(\hat{x}) = E(x)
]

并且估计是误差方差最小的。根据这些条件，我们可以得出：

[
h = E(x) - H E(v)
]

为了满足最小方差的要求，我们使用以下符号表示：

[
F(H) = \text{Var}(x - \hat{x})
]

根据上述公式，我们可以得到：

[
F(H) = \langle x - x\hat{}, x - x\hat{} \rangle = \langle (x - E(x)) -