93、连续与混合系统的关系抽象

连续与混合系统的关系抽象

1. 预备知识

在研究连续与混合系统时，我们先介绍一些基础定义和性质。
- 向量场 ：设 $X \subseteq \mathbb{R}^n$，向量场 $F$ 是一个函数 $F: X \to \mathbb{R}^n$，它为每个 $x \in X$ 分配一个场方向 $F(x)$。例如，由常微分方程（ODE）定义的时不变系统 $\frac{dx_1}{dt} = f_1(x), \cdots, \frac{dx_n}{dt} = f_n(x)$ 可以与向量场 $F(x) = (f_1(x), \cdots, f_n(x))$ 对应。一个连续系统 $S = \langle F, X \rangle$ 由向量场 $F$ 和定义域 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ 组成。
- 时间轨迹 ：连续系统 $S = \langle F, X \rangle$ 的时间轨迹是一个函数 $\tau: [0, T) \to \mathbb{R}^n$（$T > 0$），满足 $\tau(t) \in X$ 对所有 $t \in [0, T)$ 成立，并且 $\frac{d\tau}{dt} = F(\tau(t))$ 对所有 $t \in [0, T)$ 成立。
- 李导数 ：若 $f(x)$ 关于 $x$ 连续可微，$\partial_x f$ 表示 $f$ 关于每个 $x_i$ 的偏导数向量。函数 $g$ 关于向量场 $F$ 的李导数定义为 $L_F(g) := (\partial_x g) \cdot F(x)$，其中 “$\cdot$” 表示两个向量的点积。
- 正不变集 ：集合 $M \subseteq X$ 是系统 $S$ 的不变集，当且仅当对于任意 $x \in M$，每个以 $x$ 为初始点的时间轨迹 $\tau: [0, T) \to X$ 都完全包含在 $M$ 中，即 $(\forall t \in [0, T)) \tau(t) \in M$。

设 $M$ 是由断言 $\sum_{j = 1}^{m} g_j(x) \leq 0$ 定义的闭集，且每个 $g_j(x)$ 连续可微，$M$ 满足约束条件：$(\forall x \in X), (\exists z) g_j(x) + \partial_x g_j \cdot z < 0$。

定理表明，若对于每个 $j \in [1, m]$，断言 $\forall x \in X : g_j(x) = 0 \land \sum_{i \neq j} g_i(x) \leq 0 \Rightarrow L_F(g_j) < 0$ 成立，则集合 $M$ 是向量场 $F$ 的正不变集。

2. 混合系统

混合系统结合了状态的连续演化和离散的瞬时跳跃，这些跳跃可以改变系统的状态和动态。

一个混合系统 $H$ 由一组离散模式 $\langle m_1, \cdots, m_k \rangle$ 定义，每个模式 $m_i$ 由一个连续系统 $S_i = \langle F_i, X_i \rangle$ 表示。系统可以通过一组离散转换 $\tau_1, \cdots, \tau_m$ 改变模式。每个转换由前一个模式 $m_0$、后一个模式 $m_1$ 和转换关系 $\rho[x, x’] \subseteq X_{m_0} \times X_{m_1}$ 定义，该关系将转换前的状态 $x \in X_{m_0}$ 与转换后的状态 $x’ \in X_{m_1}$ 关联起来。初始条件由初始模式 $m_{init}$ 和初始状态集 $\Theta \subseteq X_{init}$ 给出。

如果系统的每个离散转换不修改连续状态变量，则该混合系统是一个切换系统。即每个离散转换关系 $\rho[x, x’]$ 可以写成 $\rho: \gamma(x) \land x’ = x$ 的形式，其中 $\gamma(x)$ 是一个条件。

例如，一个电压控制开关的电路，当电容两端的电压 $V_C$ 超过 4V 时开关闭合，当 $V_C$ 低于 1V 时开关打开。开关打开时，电容电压 $V_C$ 和电感电压 $V_L$ 的动态方程为 $\frac{dV_C}{dt} = 5 - V_C - V_L$，$\frac{dV_L}{dt} = -5 + V_C - V_L$；开关闭合时，动态方程为 $\frac{dV_C}{dt} = 5 - 3V_C - V_L$，$\frac{dV_L}{dt} = -5 + 3V_C - V_L$。在每个模式下，我们假设模式不变量为 $(V_C, V_L) \in [-10, 10] \times [-10, 10]$。

3. 关系抽象

我们为连续系统定义关系抽象，并给出证明规则来检查给定关系是否是由 ODE 定义的连续系统时间轨迹的抽象。

设 $S = \langle F, X \rangle$ 是一个连续系统，$R(x, y)$ 是 $X \times X$ 上的一个关系。

• 无时间的关系抽象 ：关系 $R \subseteq \mathbb{R}^{2n}$ 是连续系统 $S$ 的（无时间）关系抽象，当且仅当对于系统 $S$ 的所有时间轨迹 $\tau: [0, T) \to X$，都有 $(\forall t \in [0, T)) (\tau(0), \tau(t)) \in R$。
• 完整关系抽象 ：关系抽象 $R \subseteq X \times X$ 对于系统 $S$ 是完整的，当且仅当每当 $R(x, y)$ 成立时，存在一个时间轨迹 $\tau: [0, T) \to X$，使得 $\tau(0) = x$ 且 $\tau(t) = y$，其中 $0 \leq t < T$。
• 线性关系抽象 ：如果关系抽象 $R$ 可以表示为实数上线性算术理论中的一个断言，则称 $R$ 是线性的。

我们定义一个 “扩展系统” $S’$，其状态变量为 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2n}$，动态方程为 $\frac{dy}{dt} = F(y)$，$\frac{dx}{dt} = 0$，不变区域为 $X \times X$，初始条件为 $x(0) = y(0) \in X$。

一个集合 $M$ 是系统 $S$ 具有初始条件 $X_0 \subseteq M$ 的初始化正不变集，当且仅当对于所有从 $X_0$ 中的某个初始点开始的时间轨迹 $\tau: [0, T) \to \mathbb{R}^n$，都有 $\tau(t) \in M$ 对所有 $t \in [0, T)$ 成立。

引理表明，关系 $R$ 是系统 $S$ 的关系抽象，当且仅当 $R$ 是扩展系统 $S’$ 的初始化正不变集。

证明规则如下：
- 初始化 ：$\forall x \in X, R(x, x)$。
- 流保持 ：
- 正向时间规则：$\forall j \in [1, m], \forall x, y \in X, \sum_{i \neq j} g_i(x, y) \leq 0 \land g_j(x, y) = 0 \Rightarrow (\partial_y g_j) \cdot F(y) < 0$。
- 时间反转动态规则：$\forall j \in [1, m], \forall x, y \in X, \sum_{i \neq j} g_i(x, y) \leq 0 \land g_j(x, y) = 0 \Rightarrow (\partial_x g_j) \cdot (-F(x)) < 0$。

例如，对于一个电感 - 电容 - 电阻（LCR）电路，当开关打开时，动态方程为 $\frac{dV_C}{dt} = 5 - V_C - V_L$，$\frac{dV_L}{dt} = -5 + V_C - V_L$。我们要证明关系 $R(V_{C0}, V_{L0}, V_C, V_L)$ 是一个关系抽象，该关系由 $(V_{C0}, V_C, V_{L0}, V_L) \in [-10, 10]^4 \land V_C + 5V_L \leq V_{C0} + 50 \land 4V_L \leq V_{L0} + 30 \land 2V_L - 3V_C \leq 2V_{L0} + 30$ 表示。

对于不等式 $V_C + 5V_L - V_{C0} - 50 \leq 0$，我们设置 $V_C = V_{C0}$ 和 $V_L = V_{L0}$ 来验证初始条件，并使用 SMT 求解器验证李导数相关的蕴含关系。

关系抽象通常可以表示为有限个关系 $R_1, \cdots, R_m$ 的析取 $R(x, y) = \bigvee_{j = 1}^{m} R_j(x, y)$，其中每个关系 $R_j$ 满足流保持证明规则，且析取关系 $R(x, y)$ 满足初始化规则。

以下是不同类型混合自动机的关系抽象总结：
| 混合自动机类型 | 动态方程 | 关系抽象 |
| — | — | — |
| 定时自动机 | 具有 $n$ 个时钟 $x_1, \cdots, x_n$ | $\bigwedge_{i = 2}^{n}(x_1 - x_{10} = x_i - x_{i0}) \land x_1 \geq x_{10}$ |
| 多速率自动机 | $\frac{dx_1}{dt} = c_1, \cdots, \frac{dx_n}{dt} = c_n$（$c_1, \cdots, c_n$ 为非零常数） | $\bigwedge_{i = 2}^{n}(\frac{x_1 - x_{10}}{c_1} = \frac{x_i - x_{i0}}{c_i}) \land \frac{x_1 - x_{10}}{c_1} \geq 0$ |
| 矩形自动机 | $a_1 \leq \frac{dx_1}{dt} \leq b_1, \cdots, a_n \leq \frac{dx_n}{dt} \leq b_n$（$0 < a_i \leq b_i$） | $0 \leq \max{\frac{x_1 - x_{10}}{b_1}, \cdots, \frac{x_n - x_{n0}}{b_n}} \leq \min{\frac{x_1 - x_{10}}{a_1}, \cdots, \frac{x_n - x_{n0}}{a_n}}$ |
| 线性混合自动机 | 动态由线性约束 $\varphi(\dot{x})$ 表示，可写成 $A_1 \dot{x} \leq b_1 \land A_2 \dot{x} \geq b_2$ | $0 \leq \max(A_1(x - x_0)./b_1) \leq \min(A_2(x - x_0)./b_2)$ |
| 具有有理特征值的线性系统 | $\frac{dx}{dt} = Dx$（$D$ 为对角矩阵，特征值为 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$） | $(\exists r > 0) \bigwedge_{i = 1}^{n}[x_i = r^{c_i}x_{i0}]$ |

mermaid 格式流程图如下：

graph LR
    A[混合系统] --> B[不变量生成器]
    B --> C[关系抽象]
    C --> D[验证器]
    D --> E{结果}
    E -->|反例| F[反例]
    E -->|证明| G[证明]

以上就是关于连续与混合系统关系抽象的部分内容，包括预备知识、混合系统的定义、关系抽象的概念和证明规则，以及不同类型混合自动机的关系抽象。后续我们将继续介绍关系抽象的实现部分。

连续与混合系统的关系抽象

4. 实现

整体验证框架主要包含两个部分：
- 不变量生成器 ：用于生成输入混合系统的关系抽象。
- 验证器 ：运用诸如 k - 归纳法和有界模型检查（BMC）等技术对关系抽象进行分析。不过，其他验证技术或工具同样适用。

该框架会提前对每个模式进行抽象，在实际操作中，也能在进入一个之前未见过的模式时，进行即时抽象。下面我们着重探讨关系抽象的实现方法。

4.1 模板 - 基方法

我们主要采用模板 - 基方法来生成关系抽象，具体操作步骤如下：
1. 构建参数化形式 ：为所需的不变量构建一个未知的参数化形式。
2. 转换为公式 ：将生成不变量的问题转化为一个 $\exists\forall$ 公式。
3. 求解公式 ：
- 直接求解 ：可使用实数理论上的量词消除技术直接求解 $\exists\forall$ 公式。
- 转换后求解 ：先通过对偶化将 $\exists\forall$ 公式转换为 $\exists$ 公式，这些 $\exists$ 公式包含关于未知参数的非线性约束，可使用以下方法求解：
- 对锥进行定点迭代。
- 使用位向量求解器。
- 对系统进行数值模拟。

在实际实验中，我们使用了一种专门的量词消除技术和 TimePass 工具，该工具实现了定点迭代方法。

4.2 示例分析

以之前提到的电感 - 电容 - 电阻（LCR）电路为例，当开关打开时，动态方程为 $\frac{dV_C}{dt} = 5 - V_C - V_L$，$\frac{dV_L}{dt} = -5 + V_C - V_L$。我们要证明关系 $R(V_{C0}, V_{L0}, V_C, V_L)$ 是一个关系抽象，具体步骤如下：
1. 初始化验证 ：对于关系中的不等式，如 $V_C + 5V_L - V_{C0} - 50 \leq 0$，设置 $V_C = V_{C0}$ 和 $V_L = V_{L0}$，验证在不变区域 $(V_{C0}, V_{L0}) \in [-10, 10]^2$ 上 $5V_{L0} \leq 50$ 成立。
2. 流保持验证 ：计算不等式左边表达式的李导数，如 $V_C + 5V_L - V_{C0} - 50$ 的李导数为 $4V_C - 6V_L - 20$。使用 SMT 求解器验证蕴含关系 $R(V_{C0}, V_{L0}, V_C, V_L) \land V_C + 5V_L - V_{C0} - 50 = 0 \models 4V_C - 6V_L - 20 < 0$。

5. 总结

通过上述内容，我们了解了连续与混合系统关系抽象的相关知识，具体总结如下：
- 基础概念 ：涵盖向量场、时间轨迹、李导数、正不变集等定义，这些是研究连续系统的基石。
- 混合系统 ：结合了连续演化和离散跳跃，通过离散模式和转换来描述系统的动态变化。
- 关系抽象 ：为连续系统定义了关系抽象，并给出了证明规则，还介绍了不同类型混合自动机的关系抽象形式。
- 实现方法 ：主要采用模板 - 基方法生成关系抽象，并通过具体示例展示了验证关系抽象的步骤。

以下是一个关于不同类型混合自动机关系抽象和实现方法的表格总结：
| 类型 | 关系抽象 | 实现方法 |
| — | — | — |
| 定时自动机 | $\bigwedge_{i = 2}^{n}(x_1 - x_{10} = x_i - x_{i0}) \land x_1 \geq x_{10}$ | 模板 - 基方法，使用量词消除或定点迭代等 |
| 多速率自动机 | $\bigwedge_{i = 2}^{n}(\frac{x_1 - x_{10}}{c_1} = \frac{x_i - x_{i0}}{c_i}) \land \frac{x_1 - x_{10}}{c_1} \geq 0$ | 模板 - 基方法，使用量词消除或定点迭代等 |
| 矩形自动机 | $0 \leq \max{\frac{x_1 - x_{10}}{b_1}, \cdots, \frac{x_n - x_{n0}}{b_n}} \leq \min{\frac{x_1 - x_{10}}{a_1}, \cdots, \frac{x_n - x_{n0}}{a_n}}$ | 模板 - 基方法，使用量词消除或定点迭代等 |
| 线性混合自动机 | $0 \leq \max(A_1(x - x_0)./b_1) \leq \min(A_2(x - x_0)./b_2)$ | 模板 - 基方法，使用量词消除或定点迭代等 |
| 具有有理特征值的线性系统 | $(\exists r > 0) \bigwedge_{i = 1}^{n}[x_i = r^{c_i}x_{i0}]$ | 模板 - 基方法，使用量词消除或定点迭代等 |

mermaid 格式流程图展示实现流程如下：

graph LR
    A[输入混合系统] --> B[模板 - 基方法]
    B --> C{选择求解方式}
    C -->|直接求解| D[量词消除技术]
    C -->|转换后求解| E[对偶化]
    E --> F{选择求解方法}
    F -->|定点迭代| G[锥定点迭代]
    F -->|位向量求解器| H[位向量求解器]
    F -->|数值模拟| I[数值模拟]
    D --> J[生成关系抽象]
    G --> J
    H --> J
    I --> J
    J --> K[验证器分析]
    K --> L{结果}
    L -->|反例| M[反例]
    L -->|证明| N[证明]

通过上述内容，我们对连续与混合系统的关系抽象有了较为全面的认识，从基础概念到具体实现，各个环节紧密相连，为分析和验证这类系统提供了有效的方法和工具。