65、小波概要：将未选择系数设为零并非最优选择

小波概要：将未选择系数设为零并非最优选择

在数据处理和分析领域，小波概要（Wavelet Synopsis）是一种非常有用的技术，它可以帮助我们在减少数据存储空间的同时，尽可能地保留数据的重要信息。然而，传统的小波概要方法在处理未选择系数时，通常将它们都设为零，这种做法是否最优呢？本文将深入探讨这个问题，并提出一些改进的方法。

问题提出

在小波概要中，我们通常会选择一部分系数来表示数据，而将其余的系数设为零。传统方法创建的小波概要可以用形式化的定义表示为：
[
\left{W_s, 0, \varphi\right}
]
这意味着我们只给未选择的系数分配一个单一的值，即零，因此不需要记录 (W_s) 和 (X_k) 之间的映射关系，并且 (k) 用 (\varphi) 表示。基于这个定义，我们可以提出两个问题：
1. (K_{10}) 小波是否等于 (X_{wavelet}^{opt})？
2. (L_2) 范数 ((X_{wavelet}^{opt}) k) 是否不小于 (L_2) 范数 ((X {wavelet}^{opt})_{k + 1})？

(X_{wavelet}^{opt}) 的构造

为了回答上述问题，我们首先来看一个反例。假设我们有一个数据集合 (A[8] = [2, 2, 0, 2, 3, 5, 4, 4])，其误差树 (T) 如下：

2.75
-1.25
0.5
0
-1
2
2
0
2
3
5
4
4
0
-1
0
A[1]
A[2]
A[3]
A[4]
A[5]
A