不可解问题

  不可解问题(Undecidable Decision Problem)指的是这样一种问题：它无论如何也不可能有一个正确的算法来解决。虽然不可思议，但这种问题被证明确实是存在的。图灵在1936年提出了第一个不可解问题的实例：The Halting Problem。
  The Halting Problem是指，输入一段程序代码和一个针对此程序的输入，能否编程判断运行这个程序后程序是否会终止。这个问题的答案是否定的，也就是说不可能有一种算法可以正确判断一个指定的程序运行后，给予指定的输入，程序最后出不出得来。换句话说，The Halting Problem是一个不可解问题。
  假设我们某一天真做出了这么一个极度聪明的万能算法(就叫God_algo吧)，你只要给它一段程序(二进制描述)，再给它这段程序的输入，它就能告诉你这段程序在这个输入上会不会结束(停机)。我们来编写一下这个算法：

bool God_algo ( char *program, char *input ) {
    if ( <program> halts on <input> ) {
        return true;
    }

    return false;
}

这里假设if的判断语句里面是天才思考的结晶，它能够像上帝一样洞察一切程序的宿命。现在从这个God_algo出发，导出一个新的算法：

bool Satan_algo ( char *program ) {
    if ( God_algo ( program, program ) ) {
        while ( 1 ); /* loop forever! */
        return false; /* can never get here! */
    } else {
        return true;
    }
}

正如它的名字所暗示的那样，这个算法便是一切邪恶的根源了。当我们把这个算法运用到它自身身上时，会发生什么呢？

Satan_algo ( Satan_algo );

我们来分析一下这行简单的调用：显然Satan_algo(Satan_algo)要么能够运行结束返回(停机)，要么不能返回(loop forever)。如果它能够结束，那么Santa_algo算法里面的那个if判断就会成立(因为God_algo(Santa_algo, Santa_algo)将会返回true)，从而程序便进入那个包含一个无穷循环while(1);的if分支，于是这个Satan_algo(Satan_algo)调用便永远不会返回(结束)了。如果不能结束(停机)，则if判断就会失败，从而选择另一个if分支并返回false，即Satan_algo(Satan_algo)又能够返回(停机)。可以得到如下结论：

• Satan_algo能够停机 => Satan_algo(Satan_algo)不能停机。
• Satan_algo不能停机 => Satan_algo(Satan_algo)能够停机。

于是得到矛盾的结果。