2019牛客暑期多校训练营（第一场）B Integration(裂项解方程+找规律)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/B
来源：牛客网

题意

有
$${\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{2}$$
那么给你一个长度为$n$的序列$a_i$
求解
$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{{\prod }_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}dx$$
答案为一个分数，$\frac{p}{q}$
输出这个分数的逆元

思路

我们先考虑$n=1$的情况
$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{a^2+x^2}dx$$
有不定积分
$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C$$
所以当$x\to \infty$时就是$\frac{\pi }{2a}$，所以$n=1$的答案就为$\frac{1}{2a}$

然后在考虑$n=2$的情况

$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}dx$$
考虑不定积分
$$\int \frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}dx$$
对于这个不定积分，由于分子是一个乘积，可以我们可以用拆项积分法，及
$$\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}=\frac{\alpha }{a^2+x^2}+\frac{\beta }{b^2+x^2}=\frac{\alpha (b^2+x^2)+\beta (a^2+x^2)}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}$$
$$=\frac{b^2\alpha +a^2\beta +x^2(\alpha +\beta )}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}$$
所以有
$$\{\begin{array}{c}{b}^2\alpha +a^2\beta =1\\ \alpha +\beta =0\end{array}$$
解得
$$\{\begin{array}{c}\alpha =\frac{1}{b^2-a^2}\\ \\ \beta =\frac{1}{a^2-b^2}\end{array}$$
那么原式就可以表示为
$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}dx=\frac{1}{\pi }((\frac{1}{b^2-a^2}){\int }_0^{\infty }\frac{1}{a^2+x^2}dx+(\frac{1}{a^2-b^2}){\int }_0^{\infty }\frac{1}{b^2+x^2}dx)$$
$$=(\frac{1}{b^2-a^2})\frac{1}{2a}+(\frac{1}{a^2-b^2})\frac{1}{2b}$$
在考虑$n=3$的情况
$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)(c^2+x^2)}dx$$
同样的考虑不定积分
$$\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)(c^2+x^2)}=\frac{\alpha }{a^2+x^2}+\frac{\beta }{b^2+x^2}+\frac{\gamma }{c^2+x^2}$$
$$=\frac{\alpha b^2{c}^2+\beta a^2{c}^2+\gamma a^2{b}^2+x^2(\alpha (b^2+c^2)+\beta (a^2+c^2)+\gamma (a^2+b^2))+x^4(\alpha +\beta +\gamma )}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)(c^2+x^2)}$$
同样的同分然后列出方程，有
$$\{\begin{array}{c}\alpha +\beta +\gamma =0\\ \alpha (b^2+c^2)+\beta (a^2+c^2)+\gamma (a^2+b^2)=0\\ \alpha b^2{c}^2+\beta a^2{c}^2+\gamma a^2{b}^2=1\end{array}$$
这个方程直接解起来有点麻烦我们用增广矩阵求解，有
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ b^2+c^2& a^2+c^2& a^2+b^2& 0\\ b^2{c}^2& a^2{c}^2& a^2{b}^2& 1\end{array}\right]$$
第二行剪第一行乘$b^2+c^2$,第三行减去第一行乘$b^2{c}^2$,然后第三行再减去第二行乘以$c^2$然后可以得到
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& a^2-b^2& a^2-c^2& 0\\ 0& 0& (b^2-c^2)(a^2-c^2)& 1\end{array}\right]$$
所以有解
$$\{\begin{array}{c}\alpha =\frac{1}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}\\ \\ \beta =\frac{1}{(a^2-b^2)(c^2-b^2)}\\ \\ \gamma =\frac{1}{(b^2-c^2)(a^2-c^2))}\end{array}$$
那么原式就可以表示为
$$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{1}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)(c^2+x^2))}dx$$
$$=\frac{1}{\pi }((\frac{1}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}){\int }_0^{\infty }\frac{1}{a^2+x^2}dx+(\frac{1}{(a^2-b^2)(c^2-b^2)}){\int }_0^{\infty }\frac{1}{b^2+x^2}dx+(\frac{1}{(b^2-c^2)(a^2-c^2)}){\int }_0^{\infty }\frac{1}{c^2+x^2}dx)$$
$$=\frac{1}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)2a}+\frac{1}{(a^2-b^2)(c^2-b^2)2b}+\frac{1}{(b^2-c^2)(a^2-c^2)2c}$$
这样规律就明显了，对比$n=2$和$n=3$，可以发现，也可以写写$n=4$，可以得到
$$ans=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2a_i}\prod _{j̸=i}\frac{1}{a_j^2-a_i^2}$$
然后就可以$n^2$的做了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e3+5;
long long quickmod(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b=b/2;
    }
    return ans;
}
long long a[N];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        long long ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            long long temp=1;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                if(i==j)
                    continue;
                temp=temp*((a[j]*a[j]%mod-a[i]*a[i]%mod+mod)%mod)%mod;
            }
            temp=temp*2%mod*a[i]%mod;
            ans=(ans+quickmod(temp,mod-2))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}