莫队算法无修

最新推荐文章于 2022-05-02 00:09:25 发布

fsl123fsl

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分类专栏：算法与数据结构文章标签：莫队

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本文介绍了无修改操作的序列询问处理的离线算法——无修莫队算法。该算法通过分块策略，将时间复杂度优化到O(n*sqrt(n))。内容包括算法本质、时间复杂度分析及例题解析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

无修莫队

无修的莫队算法，是用来处理没有修改操作的序列的询问操作的离线算法
莫队算法的本质是什么？
大概就是分块加上一个大家可能都想到过的东西
也就是一个区间1l-r，其左边的区间2 (l - 1) - (r - 1)的和转化到区间1的和只需要O(1)的时间复杂度
也就是 $s u m 1 = s u m 2 + a [r] - a [l - 1]$
如果前面并没有提到分块，可能大家就会想到一个 $O(n^2)$ 的算法
那么这个算法我就不提了。。

那如果有分块的加入呢？
我们的思路是这样的：
将一个长度为n的序列分成 $s q r t (n)$ 块
然后对询问进行排序如果两个询问的左端点在同一块，则比较两个询问的右端点，小的在前
如果左端点不在同一块，则比较两个块的前后顺序，块在前面的在前
这样就可以优化上述处理询问方法的时间复杂度，具体看下面的分析

根据之前提到的查询方法，可以得出以下代码：

	int x = m[k].l, y = m[k].r;//m是询问
	while (l > x) ins( -- l );
	while (l < x) del( l ++ );
	while (r > y) del( r -- );
	while (r < y) ins( ++ r );

时间复杂度

这里设 $s u m = s q r t (n)$
每个块长度为 $l e n = n / s u m$
枚举了 $k$ 次答案

对于l

若两个l在同一块，则最坏情况为 $O (l e n)$
若两个l在不同块，则最坏情况为 $O (2 * l e n)$
则枚举k次的时间复杂度为 $O (k * l e n)$

对于r

由于两个l不一定在同一块，所以r时不一定有序的
也就是说，每个r的移动都有可能带来 $O (n)$ 的时间复杂度
由于要枚举的是sum个块，所以时间复杂度为 $O (n * s u m)$

整体

$O (k * l e n + n * s u m) = O (n * s u m + n * s u m) = O (n * s u m) = O (n * s q r t (n))$

看来是个非常优秀的算法

例题

luogu P1972
这道题已经非常裸了，解析就不给出了，自己看代码就好
（luogu加强了数据无法再AC，但是写一写还是没什么问题的）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int max_l = 10000005; 

struct hazaking
{
    int l, r, p, id, ans;
}m[max_l];

int a[max_l], vis[max_l];

inline bool cmp1(hazaking a, hazaking b)
{
    return a.id ^ b.id ? a.id < b.id : a.r < b.r;
}

inline bool cmp2(hazaking a, hazaking b)
{
    return a.p < b.p;
}

int read()
{
    int sum = 0 , flag = 1;
    char c = getchar();
    for (; c < '0' || c > '9' ; c = getchar() )
     if ( ! (c ^ '-') ) flag = -1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar() )
     sum = (sum << 3 ) + (sum << 1) + (c ^ 48);
    return sum * flag;
}

int n = read();

int len = sqrt ( n );

int q;

int l = 1 , r = 0;

int ans = 0;

inline void ins(int k)
{
    if ( ! vis [ a[ k ] ] ++ ) ans ++ ;//访问到则增加标记
}

inline void del(int k)
{
    if ( ! -- vis [ a[ k ] ] ) ans -- ;//访问到则减少标记
}

inline void query(int k)
{
    int x = m[k].l , y = m[k].r ;
    while (l > x) ins( -- l );
    while (l < x) del( l ++ );
    while (r > y) del( r -- );
    while (r < y) ins( ++ r );//四句查询语句
    m[k].ans = ans;//这里还可以用记录的询问id储存答案,无需后面的排序
}

inline void init()
{
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
     a[i] = read();
    q = read();
    for (int i = 1 ; i <= q; i ++)
     {
     	m[i].id = ( m[i].l = read() ) / len ;
     	m[i].r = read();
     	m[i].p = i;
     }//对于询问数组初始化
    sort(m + 1, m + q + 1, cmp1 );//对数组进行排序
    for (int i = 1 ; i <= q ; i++)
     query(i);//查询
    sort(m + 1, m + q + 1, cmp2 );//对答案排序，满足数据输入顺序
    for (int i = 1 ; i <= q ; i ++)
     printf("%d\n", m[i].ans );//输出答案
}

inline void work()
{
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}