实用算法实现-第6篇线段树

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原创最新推荐文章于 2026-02-26 14:52:40 发布 3.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

线段树详解（原理，实现与应用） 线段树详解 By 岩之痕一：综述 线段树是一种可以快速进行区间修改和区间查询的数据结构。点修改，区间修改和区间查询的复杂度都是O(log2(n)) 并且，线段树可以维护很多种类的信息。说到线段树就不得不提一下树状数组，树状数组维护的信息必须满足区间减法，因为树状数组只是维护1到X的信息，通过相减来得到区间信息，代码简单而且速度快，占用空间又少于线段树，所以一般情况下可以用树状数组的地方就阅读详情

6.1 线段树简介

线段树的定义如下：

一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该结点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：

若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为 T的左儿子

[(a+b)div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子结点。

表示区间[1, 10]的线段树表示如下：

树一般有两种形式：1、以点为结点。2、以线段为结点。区别如图：上面一个以线段为结点，下面一个以点为结点：

对线段树存在：

定理：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。

这个结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。

对线段树的可以进行扩展。

1. 测度。结点所表示区间中线段覆盖过的长度，存储在各结点中。

2. 独立线段数。区间中互不相交的线段条数。

3. 权和。区间所有元线段的权和。

测度的递推公式如下：

a[j] - a[i] 该结点 Count>0

M = 0 该结点为叶结点且 Count=0

Leftchild ↑ .M + Rightchild ↑ .M 该结点为内部结点且 Count=0连续段数

这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如 [1 ， 2] ∪[2，3]∪ [5 ， 6] 可以分解为两个区间[1 ， 3] 与 [5 ， 6] ，则连续段数为 2 。增加一个数据域 Lines_Tree.line 表示该结点的连续段数。 Line 的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的 Line 相加。所以再增加 Lines_Tree.lbd 与 Lines_Tree.rbd 域。定义如下：

1 左端点 I 被描述区间盖到

lbd =

0 左端点 I 不被描述区间盖到

1 右端点 J 被描述区间盖到

rbd =

0 右端点 J 不被描述区间盖到

lbd 与 rbd 的实现：

1 该结点 count > 0

lbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0

leftchild ↑ .lbd 该结点是内部结点且 Count=0

1 该结点 count > 0

rbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0

rightchild ↑ .rbd 该结点是内部结点且 Count=0

有了 lbd 与 rbd ， Line 域就可以定义了：

1 该结点 count > 0

Line = 0 该结点是叶结点且 count =0

Leftchild ↑ .Line + Rightchild ↑.Line - 1 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd = 1 且 Rightchild ↑ .lbd = 1

Leftchild ↑.Line + Rightchild ↑ .Line 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd 与 Rightchild ↑ .lbd 不都为1

6.2 利用线段树实现区间的动态插入和删除

6.2.1 实例

PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.

6.2.2 问题描述

在二维平面分部着一些矩形，矩形有可能重合。求矩形的总面积。

6.2.3 分析

这个题在《算法艺术与信息学竞赛》中第一章介绍数据结构时，讲到线段树的时候有解题分析。

用线段树来记载纵向上是不是被覆盖，用测度来表示区间中被覆盖了多少长度。

为了降低复杂度，可以将坐标离散化，如下图所示：

从左到右扫描长方形的左侧边和右侧边，如果是左侧边则加入线段树中，否则从线段书中删除。同时用横向扫描的距离乘以线段树的测度，就得到了扫描过了的被覆盖的面积。

本题和PKU JudgeOnline,1117, Picture题都对线段树进行了扩展。本题只用到了测度的扩展，而1117题还用到了独立线段数的扩展。

6.2.4 程序

//离散化+ 线段树+ 扫描线
//本题与JudgeOnline 1177 picture 极相似,现在回想起来甚至比1177 还要简单一些.与1177 不同的是本题中的坐标是浮点
//类型的故不能将坐标直接离散.我们必须为它们建立一个对应关系,用一个整数去对应一个浮点数
//这样的对应关系在本题的数组y[] 中
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;
 
struct node{
     int st, ed,c;   //c : 区间被覆盖的层数,m: 区间的测度
     double m;
}ST[802];
struct line{
     doublex,y1,y2;   //纵方向直线, x:直线横坐标, y1 y2:直线上的下面与上面的两个纵坐标
     bools;     //s = 1: 直线为矩形的左边, s = 0:直线为矩形的右边
}Line[205];
double y[205],ty[205]; //y[] 整数与浮点数的对应数组;ty[]:用来求y[]的辅助数组
 
void build(int root, int st, int ed){
     ST[root].st = st;
     ST[root].ed = ed;
     ST[root].c = 0;
     ST[root].m = 0;
     if(ed - st> 1){
         int mid= (st+ed)/2;
         build(root*2, st, mid);
         build(root*2+1, mid, ed);
     }
}
inline void updata(int root){
     if(ST[root].c> 0)
         //将线段树上区间的端点分别映射到y[]数组所对应的浮点数上,由此计算出测度
         ST[root].m = y[ST[root].ed-1] -y[ST[root].st-1];
     else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1)
         ST[root].m = 0;
     elseST[root].m = ST[root*2].m + ST[root*2+1].m;
}
void insert(int root, int st, int ed){
     if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){
         ST[root].c++;
         updata(root);
         return;
     }
     if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ;//不出错的话这句话就是冗余的
     int mid =(ST[root].ed + ST[root].st)/2;
     if(st <mid)
         insert(root*2, st, ed);
     if(ed >mid)
         insert(root*2+1, st, ed);
     updata(root);
}
void Delete(int root, int st, int ed){
     if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){
         ST[root].c--;
          updata(root);
         return;
     }
     if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ; //不出错的话这句话就是冗余的
     int mid =(ST[root].st + ST[root].ed)/2;
     if(st <mid)
         Delete(root*2, st, ed);
     if(ed >mid)
         Delete(root*2+1, st, ed);
     updata(root);
}
int Correspond(int n, double t){
     //二分查找出浮点数t 在数组y[]中的位置(此即所谓的映射关系)
     intlow,high,mid;
     low = 0; high = n-1;
     while(low< high){
         mid = (low+high)/2;
         if(t> y[mid])
              low = mid + 1;
         elsehigh = mid;
     }
     returnhigh+1;
}
bool cmp(line l1, line l2){
     return l1.x< l2.x;
}
 
int main()
{
     intn,i,num,l,r,c=0;
     doublearea,x1,x2,y1,y2;
     while(cin>>n,n){
         for(i =0; i < n; i++){
              cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
              Line[2*i].x = x1; Line[2*i].y1 =y1; Line[2*i].y2 = y2; Line[2*i].s = 1;
              Line[2*i+1].x = x2; Line[2*i+1].y1= y1; Line[2*i+1].y2 = y2; Line[2*i+1].s = 0;
              ty[2*i] = y1; ty[2*i+1] = y2;
         }
         n <<= 1;
         sort(Line, Line+n, cmp);
         sort(ty, ty+n);
         y[0] = ty[0];
         //处理数组ty[]使之不含重覆元素,得到新的数组存放到数组y[]中
         for(i=num=1;i < n; i++)
              if(ty[i]!= ty[i-1])
                   y[num++] = ty[i];
         build(1, 1, num); //树的叶子结点与数组y[]中的元素个数相同,以便建立一一对应的关系
         area = 0;
         for(i =0; i < n-1; i++){
              //由对应关系计算出线段两端在树中的位置
              l = Correspond(num, Line[i].y1);
              r = Correspond(num, Line[i].y2);
              if(Line[i].s)//插入矩形的左边
                   insert(1, l, r);
              else    //删除矩形的右边
                   Delete(1, l, r);
              area += ST[1].m * (Line[i+1].x -Line[i].x);
         }
         cout<<"Testcase #"<<++c<<endl<<"Totalexplored area: ";
         cout<<fixed<<setprecision(2)<<area<<endl<<endl;
     }
     return 0;
}

6.3 计算数组区间第K大的数

PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs则是线段树的另外一个应用：实用线段树来计算数组区间[i, j]中元素第k小（或第K大）的数。只要添写一个函数，根据线段树中每个结点的覆盖树木来判断第k大的树是哪一个。

当初始化，或者区间[i, j]发生变化时，需要对线段树进行添加或者删除操作。每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。

int query(int root, intcount)
{
     if(count<= ST[root].c){
         returnST[root].st;
     }else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1){
         returnST[root].ed;
     }
     count -= ST[root].c;
     if(count<= ST[root*2+1].c){
         returnquery(root*2, count);
     }else{
         returnquery(root*2+1, count);
     }
}

1.4 实例

PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.

PKU JudgeOnline, 1117, Picture.

PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs.

PKU JudgeOnline, 2528, Mayor'sposters.

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