莫(meng)比乌斯反演习题补充

回顾

直接甩链接http://blog.youkuaiyun.com/Friedrich_Taylor/article/details/77981753

如三峡开闸一般的水题

（1）ZAP(BZOJ1101)

题面虽然很短，但我还是要甩链接http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

考虑回顾里的mobius函数性质里的第三条的第一个奇妙性质

（3） 奇奇怪怪但是非常有用的性质
对于任意正整数n有
Σμ(d)(d满足d整除n)==(n=1) 也就是只有n为1时该式才有值为1，否则为0
Σμ(d)/d(d满足d整除n)=φ(n)/n

所以对于gcd(i,j)==1就可以很轻易地转化为Σμ(d) (d整除gcd(i,j))

至于如何把gcd(i,j)==d转化为gcd(i,j)==1,很简单，只要把n,m均除以一个d即可

处理完懵逼乌斯的前缀和后“就是喜闻乐见的下底函数分块”

鉴于我题解写得太简略，我还是甩一个参考文献http://hzwer.com/4205.html

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
using namespace std;
inline int read(){
	int i=0,f=1;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar())
		if(ch=='-') f=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		i=(i<<3)+(i<<1)+(ch^48);
	return i*f;
}
int buf[1024];
inline void write(int x){
	if(!x){putchar('0');return ;}
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	while(x){buf[++buf[0]]=x%10,x/=10;}
	while(buf[0]) putchar(buf[buf[0]--]+48);
	return ;
}
#define stan 55555
int mu[stan],pri[stan],cnt,n,m,d,T;
bool exi[stan];
inline void preact(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;++i){
		if(!exi[i]){
			pri[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=50000;++j){
			exi[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0){
				mu[i*pri[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
    for(int i=1;i<=50000;++i)
       mu[i]+=mu[i-1];
	return ;
}
inline int solve(int n,int m){
	int ret=0;
	if(n>m) swap(n,m);
	for(int i=1,lst;i<=n;i=lst+1){
		lst=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret+=(n/i)*(m/i)*(mu[lst]-mu[i-1]);
	}
	return ret;
}
signed main(){
	preact();
	T=read();
	while(T--){
		n=read();m=read();d=read();
		n/=d,m/=d;
		write(solve(n,m));
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

（2）能量采集(NOI2010)

题面在此http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

经过分析可以发现这道题不过是YY的gcd的翻版

若仍然懵逼见链接http://blog.youkuaiyun.com/Clove_unique/article/details/51089272

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int i=0,f=1;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar())
		if(ch=='-') f=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		i=(i<<3)+(i<<1)+(ch^48);
	return i*f;
}
int buf[1024];
inline void write(int x){
	if(!x){putchar('0');return ;}
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	while(x){buf[++buf[0]]=x%10,x/=10;}
	while(buf[0]) putchar(buf[buf[0]--]+48);
	return ;
}
#define stan 111111
int phi[stan],pri[stan],cnt,n,m;
bool exi[stan];
void preact(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=111111;++i){
		if(!exi[i]){
			pri[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=111111;++j){
			exi[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=111111;++i)
		phi[i]+=phi[i-1];
	return ;
}
inline int solve(int n,int m){
	int ret=0;
	if(n>m) swap(n,m);
	for(int i=1,lst;i<=n;i=lst+1){
		lst=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ret+=(n/i)*(m/i)*(phi[lst]-phi[i-1]);
	}
	return ret;
}
signed main(){
	preact();
	n=read();m=read();
	write(2*solve(n,m)-n*m);
	return 0;
}

再一次局部完结撒花 这么水的题好意思