深入理解函数求值与超级和F函数-优快云博客

本文探讨了函数求值的原理，并详细解析了一种名为超级和F函数的特定问题。通过分析题目，作者给出了清晰的解题思路，帮助读者掌握此类问题的解决方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

定义超级和函数F如下：

F(0, n) = n，对于所有的正整数n..

F(k, n) = F(k – 1, 1) + F(k – 1, 2) + … + F(k – 1, n)，对于所有的正整数k和n.

请实现下面Solution类中计算F(k, n)的函数（1 <= k, n <= 14）.

class Solution {

public:

int F(int k, int n) {

}

};

例1：F(1, 3) = 6

例2：F(2, 3) = 10

例3：F(10, 10) = 167960

解题思路：

这题有一点动态规划的意思，但是已经把递归公式给出来了，所以要做的就是把递归的算法再进行修改，减少重复计算的次数。因此可以用一个二维数组来记录已经计算过的值。如果已经计算过就直接使用不再重复计算。代码如下：

int f[15][15];
      
class Solution {
public:  
    int F(int k, int n) {
        if(k == 0){
            f[k][n] = n;
            return n;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(f[k-1][i] > 0)   
                f[k][n] += f[k-1][i];           
            else
                f[k][n] += F(k-1, i);                   
        }
        return f[k][n];
    }
};

但是这样的算法其实还是十分低效的，仍然有许多重复计算。在把递归树画出来之后我发现，树的每一层的k值是逐层递减的，每个节点的子节点数也和n值一样。因此可以使用一个三层的循环，一层一层计算出f[n][k]的值。代码如下：

int f[15][15];
      
class Solution {
public:  
    int F(int k, int n) {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            f[0][i] = i;
        for(int i = 1; i <= k; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                for(int a = 1; a <= j; a++){
                    f[i][j] += f[i-1][a];
                }
            }               
        }
        return f[k][n];
    }
};