贝叶斯公式

最新推荐文章于 2025-03-05 21:16:27 发布

franklyna

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本文介绍了条件概率和全概率的概念，并通过韦恩图进行可视化表示。接着详细阐述了贝叶斯公式及其推导过程，强调了在实际问题中，如疾病检测，如何使用贝叶斯公式来计算后验概率。通过举例说明，即使医院检测为阳性，实际患病概率也可能远低于检测准确率，强调了复检的重要性。

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条件概率和全概率

在介绍贝叶斯定理之前，先简单地介绍一下条件概率，描述的是事件 A 在另一个事件 B 已经发生条件下的概率，记作 P(A|B) ， A 和 B 可能是相互独立的两个事件，也可能不是：

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

$P(A\cap B)$ 表示 A，B 事件同时发生的概率，如果 A 和 B 是相互独立的两个事件，那么：

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A)$

上面的推导过程反过来证明了如果 A 和 B 是相互独立的事件，那么事件 A 发生的概率与 B 无关。

稍微做一下改变：

$P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

考虑到先验条件 B 的多种可能性，这里引入全概率公式：

$P(A) =P(A\cap B)+P(A\cap B^C)=P(A|B)\times P(B)+P(A|B^c)\times P(B^c)$

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