去趋势波动分析方法-捕捉时间序列数据在不同尺度上的变化特性

前言

近年来，降水过程中的分形行为和长期相关性成为了一个活跃的研究领域。这些研究表明，降水数据中存在分形行为，但分形理论在实际应用中仍然不够充分。
传统方法的局限性：
由于降水过程的非平稳性，传统的线性方法（如自相关函数分析或谱分析）在检测时间序列的这些属性时不可靠。非平稳性是指时间序列的统计性质随时间变化，而传统方法假设这些统计性质是恒定的。

一、分形理论

分形理论是一种数学理论，用来描述那些在不同尺度上都呈现相似结构的复杂现象或形状。分形理论主要研究对象是那些无法用传统欧几里得几何完全描述的自然现象和人工结构。分形的主要特点包括：
自相似性：分形对象在不同尺度上都呈现相似的结构。例如，放大一部分分形图形，会发现其局部结构与整体结构相似。
分形维数：传统的几何维数是整数，如一维的线、二维的平面和三维的立体，而分形维数则可以是非整数。例如，一条分形曲线的维数可能介于一维和二维之间，体现其复杂程度。
无标度性：分形对象在不同尺度上都有相似的特性，没有一个特定的尺度是主要的。这意味着分形的某些统计性质在不同尺度上保持不变。
分形尺度特性是指分形对象在不同尺度上的统计特性。这些特性通常用来描述时间序列或空间数据的内在结构和规律。主要的分形尺度特性包括：
Hurst 指数 (Hurst Exponent)：Hurst 指数是衡量时间序列长程依赖性的指标，通常用 H 表示。H 值介于 0 和 1 之间：
H = 0.5 表示随机游走（无相关性）。
H < 0.5 表示反持久性（负相关性），即未来的值倾向于与过去的值相反。
H > 0.5 表示持久性（正相关性），即未来的值倾向于与过去的值相同。
标度律 (Scaling Law)：描述某些统计量如何随尺度变化的关系。典型的例子是幂律关系，如 X(T) 与 T 的关系，X(T) 是在尺度 T 上的聚合序列。

谱密度指数 (Spectral Density Exponent)：用来描述时间序列在不同频率上的功率分布，通常通过谱分析来获得。

去趋势波动分析 (Detrended Fluctuation Analysis, DFA)：一种用于检测非平稳时间序列中长程相关性的方法。DFA 可以消除时间序列中的趋势，计算其波动幅度，进而分析其分形特性。
在不同领域中，分形理论和分形尺度特性被广泛应用于描述和分析复杂系统的行为，例如：
水文学：分析河流流量、降水数据等的分形特性。
金融学：研究股票市场和经济数据的长程依赖性。
地球科学：分析地震、海浪、气温等自然现象的分形行为。
医学：研究心跳、DNA 序列等生物时间序列的分形特性。
通过分形理论和分形尺度特性的研究，科学家能够更好地理解和预测这些复杂系统的行为和规律。

二、重标极差分析

重标极差分析（Rescaled Range Ana