不用循环，如何判断一个数是2的幂

定义：

假设有一个32位无符号非0整数X，它的二进制应该是这个样子的：

B(31) B(30) B(29)...B(0)

假设最高位的1所在的位置为m，最低位的1所在的位置为n，m>= n

X非0，所以n>= 0 && n <= 31我们可以将这个2进制分成三段

SEG1: B(31) - B(m+1)     该段为全0， 长度为31 - (m+1) + 1 = 31 - m，如果m == 31，显然该段就没有

SEG2: B(m) - B(n+1)    该段最高位为1，剩余位任意， 长度为m - n，如果m == n ，显然该段就没有

SEG3: B(n) - B(0)   该最高位为1，其余位为0,  长度为 = n+1

现在回到我们的命题，2的幂有怎样的特征

一个整数乘以2，从位的角度来说就是左移一位，那么2的k次方也就是k个2相乘，左移k-1位：

2E0 = BIT(1)

2E1 = BIT(1 << 1) = BIT(10) = 2

2E2 = BIT(1 << 2) = BIT(100) = 4

2EX = BIT(1 << X) = BIT(1 X个0) 

所以从二进制的角度来看，2的幂一定是一个有且仅有一个1的数

现在回到我们的命题，先给出答案：

A为2的幂，当且仅当(A & (A-1)) == 0

证明：

A表达为BIT(SEG1 SEG2 SEG3)，那么A为2的幂，当且仅当A是一个有且仅有一个1的二进制数

由于SEG3有一个1，SEG2长度不为0(m > n)时SEG2一定有至少一个二进制1，所以要求SEG2长度为0，即m==n(也就是SEG1全0，SEG2长度为0， SEG3仅最高位为1）

这样可以得出：

A为2的幂等价于m==n

所以转换目标命题为：

m==n，当且仅当(A & (A-1)) == 0，或者说m==n等价于(A & (A-1)) == 0

A -1的二进制为BIT(SEG1 SEG2 SEG3) - 1

由于SEG3为BIT(1000...000)，所以：

A-1 = BIT(SEG1 SEG2 SEG4) 

其中SEG4 = BIT(0 1111...111)， 位数为n+1，最高位为0，其余为1

A & (A-1) 

= BIT(SEG1 SEG2 SEG3) & BIT(SEG1 SEG2 SEG4) 

= BIT((SEG1 & SEG1)  (SEG2 & SEG2)  (SEG3 & SEG4))

因为X & X = X，所以：

A & (A-1) = BIT(SEG1 SEG2 SEG3&SEG4)

显然SEG3 & SEG4 = 0，所以：

A & (A-1) = BIT(SEG1 SEG2 SEG5)

其中： SEG5为n+1个0

现在证明：【1】m==n  => (A & (A-1)) == 0

m == n 所以SEG2长度为0，也就不存在，而SEG1和SEG5全0，所以A & (A-1)全0，即证

再证明: 【2】(A & (A-1)) == 0 => m==n

(A & (A-1)) == 0，所以SEG1/SEG2/SEG5全0，对SEG2来说，如果存在那么最高位一定为1，此时m > n，显然与全0冲突，故SEG2不存在，也就是说m<= n

而从定义中可知m>=n，所以m == n，即证

由上可知：

m==n  等价于(A & (A-1)) == 0

证毕