【BZOJ 4259】残缺的字符串-优快云博客

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本文介绍了一种利用FFT快速傅里叶变换进行字符串匹配的算法，针对包含通配符'*'的模板串和目标串，通过计算特定函数fj来确定所有可能的匹配起始位置。算法首先将模板串反转并扩展，然后通过FFT计算卷积形式的fj值，最后判断fj是否等于0以确定匹配情况。

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Problem

给出长度为 $m$ 的串 $A$ 和长度为 $n$ 的串 $B$ （ $A$ 为模板串）， $*$ 号表示这个位置可以是任意字母。对于字符串 $B$ ，求出每个可以与 $A$ 匹配的开头位置（下标从 $1$ 开始）。

数据范围： $1\le m\le n\le300000$ 。

Solution

这个 $*$ 限制了我们的字符串算法。。。

假设 $B$ 从第 $j$ 位开始与 $A$ 匹配，定义 $f_j=\sum_{i=0}^{m-1}(A_i-B_{i+j})^2A_iB_{i+j}$ ，然后令 $*$ 的权值为 $0$ 。

发现当 $A, B$ 能匹配的情况只有当 $f_j=0$ 时。

仔细想一想， $A_i-B_i)^2=0$ 就是 $A_i=B_i$ 的情况， $A_i=0$ 就是 $A$ 中有 $*$ ， $B_i=0$ 同理。

那么一样的套路，我们把 $A$ 翻转一下，把下标扩展到 $n$ ，于是就有：

$f_j=\sum_{i=0}^{n-1}(A_{n-i+1}-B_{i+j})^2A_{n-i+1}B_{i+j}$

发现下标之和为 $n - j + 1$ ，在 $j$ 一定时为定值（即为卷积的形式）。

把它展开：

$f_j=\sum_{i=0}^{n-1}A_{n-i+1}^3B_{i+j}-2\sum_{i=0}^{n-1}A^2_{n-i+1}B^2_{i+j}+\sum_{i=0}^{n-1}A_{n-i+1}B^3_{i+j}$

于是用 $f f t$ ，判断一下 $f_j$ 是否为 $n$ 即可。

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 300005
#define ll long long
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
int n,m,lim=1,tot;
int x[N],y[N],pos[N<<2],rec[N];
char A[N],B[N];
ll ans[N];
struct complex{
	double x,y;
	complex(){}
	complex(double x,double y):x(x),y(y){}
	friend complex operator+(const complex &a,const complex &b)  {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend complex operator-(const complex &a,const complex &b)  {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend complex operator*(const complex &a,const complex &b)  {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
}a[N<<2],b[N<<2];
void DFT(complex f[],int type){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(pos[i]>i)  swap(f[i],f[pos[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		complex now=complex(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
		for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1)){
			complex w=complex(1,0);
			for(int j=0;j<mid;++j,w=w*now){
				complex p0=f[i+j],p1=w*f[i+j+mid];
				f[i+j]=p0+p1,f[i+j+mid]=p0-p1;
			}
		}
	}
	if(type==-1)  for(int i=0;i<lim;++i)  f[i].x/=lim;
}
void FFT(int k){
	DFT(a,1),DFT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)  a[i]=a[i]*b[i];
	DFT(a,-1);
	for(int i=0;i<n;++i)  ans[i]+=k*(ll)(a[i].x+0.5);
	for(int i=0;i<lim;++i)  a[i].x=a[i].y=b[i].x=b[i].y=0;
}
int main(){
	scanf("%d%d%s%s",&m,&n,A,B);
	while(lim<=(n<<1))  lim<<=1;
	for(int i=0;i<lim;++i)  pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
	for(int i=0;i<m;++i)  if(A[i]!='*')  x[i]=A[i]-'a'+1;
	for(int i=0;i<n;++i)  if(B[i]!='*')  y[i]=B[i]-'a'+1;
	reverse(x,x+m);
	for(int i=0;i<n;++i)a[i].x=x[i]*x[i]*x[i],b[i].x=y[i];FFT(1);
	for(int i=0;i<n;++i)a[i].x=x[i]*x[i],b[i].x=y[i]*y[i];FFT(-2);
	for(int i=0;i<n;++i)a[i].x=x[i],b[i].x=y[i]*y[i]*y[i];FFT(1);
	for(int i=m-1;i<n;++i)  if(!ans[i])  rec[++tot]=i-m+2;
	printf("%d\n",tot);
	for(int i=1;i<=tot;++i)  printf("%d ",rec[i]);
	return 0;
}