【2018/11/01搜索大赛T2】某种密码

【题目】

传送门

【分析】

0 pts：

这道题可以理解为一个 $01$ 背包问题的变种，$n$ 为物品个数，原文为物品的重量，钥匙码为背包容量，求恰好装满背包的方案数。

如果是一道普通 $01$ 背包求恰好装满背包的方案数的题，可以用 $dp$ 求解。具体思路是设 $f_{i,j}$ 为用前 $i$ 个物品恰好装满容量为 $j$ 的背包的方案数，转移方程为 $f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-w_i}$。显然可以滚动数组或一维数组优化，在此不再赘述。

然而，观察数据范围会发现，此处物品的重量极大，达到了 $int$ 的范围，因此 $dp$ 的时空复杂度均无法承受，然而 $n$ 的范围较小，可以考虑搜索。

60 pts：

直接暴搜，O$(2^n)$ 枚举放入背包的物品集合，将重量相加并与 $key$ 比较。

这应该是比较好想又比较好写的，在考场上我也写了这种。

然而，对于剩余的 $40\%$ 数据，复杂度太大，仍然无法解决。

100 pts：

其实这是一类经典问题，即从一个集合中选取某个子集，使其中所有元素值之和等于某个给定值。

那么，这是折半搜索就闪亮登场了

将物品集合均分成两个交集为空，补集为全集的集合 $A$、$B$，对集合 $A$ 暴力枚举其所有子集中元素和并存入哈希表中（当然可以用 $map$），再对集合 $B$ 暴力枚举每个子集的元素和 $s$，同时查找哈希表中值为 $(key-s)$ 的元素个数并计数。时间复杂度为O$(2\ast 2^{\frac{n}{2}})$，也就是 O$(2^{\frac{n}{2}})$，可以接受。

扩展

此外，还有一类 $01$ 背包的变种。这类问题中物品个数与普通 $01$ 背包类似，物品重量与背包容量极大，但物品单个价值较小，求装入背包的物品价值的最大值。

此类问题可以用 $dp$ 求解，只是需要对状态进行些许修改。设 $f_{i,j}$ 为前 $i$ 个物品价值总量为 $j$ 时所需的背包容量的最小值，状态转移方程为 $f_{i,j}=min(f_{i-1,j},f_{i-1,j-c_i}+w_i)$。最后扫描 $f_{n,i}$，找到最接近给定背包容量的 $i$ 输出即可。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<tr1/unordered_map>
#define N 105
using namespace std;
using namespace tr1;
int n,key,A[N];
long long ans=0;
unordered_map<int,int>Map;
void dfs(int now,int end,int sum)
{
	if(now>end)
	{
		Map[sum]++;
		return;
	}
	dfs(now+1,end,sum);
	dfs(now+1,end,sum+A[now]);
}
void solve(int now,int end,int sum)
{
	if(now>end)
	{
		ans+=Map[key-sum];
		return;
	}
	solve(now+1,end,sum);
	solve(now+1,end,sum+A[now]);
}
int main()
{
//	freopen("password.in","r",stdin);
//	freopen("password.out","w",stdout);
	int i;
	scanf("%d%d",&n,&key);
	for(i=1;i<=n;++i)
	  scanf("%d",&A[i]);
	dfs(1,(1+n)/2,0);
	solve((1+n)/2+1,n,0);
	printf("%lld",ans);
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}