Gram-Schmidt算法可以将任意向量转为正交向量。给定一个格基 $b_1,\cdots,b_n$ ，正交后的向量叫Gram-Schmidt向量，写做 $b_1^\dag,\cdots,b_n^\dag$ 。 $b_i$ 垂直于向量空间 $b_1,\cdots,b_{i-1}$ 的分向量即为 $b_i^\dag$ .

2.3 KZ基

KZ基的全称是Korkin-Zolotarev基，最早由Lagarias等人提出。它们发现了最短的Gram-Schmidt向量与格上最短向量（SVP问题）之间的关系：

最短的Gram-Schmidt向量大于等于3/2n倍的最短向量长度。

接下来，我们将演示一个算法，其复杂度为：

$n^{k^2+O(1)}$

如果以下条件满足的话，那么可以找到离v最近的格向量：

实数点v离格的距离小于最短Gram-Schmidt向量长度的k倍。

也就是当解码半径变大时，时间复杂度也在增大。效率和正确率需要相互平衡。

三. 格密码的基本符号

n个向量 $b_1,\cdots,b_n$ ，其形成的向量空间为 $V(b_1,\cdots,b_n)$ ，其形成的格记为 $L(b_1,\cdots,b_n)$

输入点x以及格基 $b_1,\cdots,b_n$ ，尝试输出：

$y\in L(b_1,\cdots,b_n)$

使得如下最小：

$|x-y|$

该问题的本质就是BDD问题，其时间复杂度为：

$n^{|x-y|^2/min_i|b_i^\dag|^2}$

很明显，当x离格的距离比最小的Gram-Schmidt向量的长度大太多，那么该算法的复杂度即为多项式时间复杂度。

四. CVP问题的发展

Kannan提出解决CVP问题的算法复杂度为 $n^n$ ，其中n代表格的维度。当 $k<o(\sqrt n)$ 时，本文章的算法就相当于对该算法进行了优化。

当k<1/2时，解决CVP问题的算法复杂度会直接降低到多项式水平。

回顾定理：

给定格基，给出任意向量v，v到格点的距离一定小于Gram-Schmidt向量长度和的一半。

如果实数点v距离格点近，但又不是那么近，会出现什么情况？

五. 如何解决CVP问题

5.1 随机取整算法

可以借助随机取整算法（random rounding）来将一个实数变为整数。这里随机指的是5取整的话，可能会变成其他整数。

我们将该算法记作 $randRound_c(r)$ 。其中c为下标，r为输入。

将r写做r=p+a，其中p代表整数，a代表小数，也就是：

$0\leq a<1$

借鉴网络安全领域的离散高斯分布，来看一个特殊的表达：

$s=\sum_{i\geq 0}e^{-c(a+i)^2}+\sum_{i\geq 0}e^{-c(b+i)^2}$

根据高斯函数的性质，易得：

将该不等式的右边写做s(c)，也就是：

$s(c)=\sum_{i\geq 0}(e^{-ci^2}+e^{-c(1+i)^2})$

当把此算法结合原始的Babai算法时，则可以出现比较好的结果。

5.2 Babai算法+随机取整

将寻找最近格点的算法记作 $near_A(x,d)$ ，其中A为下标代表公共参数，x代表输入，d代表维度。如果x为零向量的话，那么d=0。换句话说，向量x位于空间 $V(b_1,\cdots,b_d)$ 内。

第一步：将x投影到 $b_d^\dag$ 的分向量记为 $r_db_d^\dag$

第二步：生成参数c，如下：

$c_d=A|b_d^\dag|^2$

这一步的c就是上个算法中的c

第三步： $r_d$ 进行随机取整，如下：

$\lambda_d=randRound_{c_d}(r_d)$

第四步：形成x'，如下：

$x'=x+(\lambda_d-r_d)b_d^\dag$

d维结束，接着继续重复计算d-1维即可，此时可得：

$near_A(x'-\lambda_db_d,d-1)+\lambda_db_d$

5.3 小结

定理1

$x'-\lambda_db_d$ 位于空间 $V(b_1,\cdots,b_{d-1})$ 内。

证明如下：

定理2

x和x'之间的差为 $(\lambda_d-r_d)b_d^\dag$

定理3

对于任意向量满足：

$x\in V(b_1,\cdots,b_d)$

该算法 $near_A(x,n)$ 可以输出一个向量满足：

很明显该向量y在格点上，而且该格点满足：

证明：

根据算法的定义,x'如下：

根据归纳假设，d-1维的算法输出的格点y'满足：

由此可得：

带入即可得：

定理4

假定 $\hat y$ 为格点,x为实数点。以上算法输出 $\hat y$ 的概率为：

所以要想输出最近的格点，可能需要调用算法多次，让后从这些样本中挑选出最近的。理论上，只有样本足够大，其中肯定包含最近的向量。算法调用的次数取决于三个值：x离格点的距离，1/s的值，参数A的取值。

如果将算法实例化，那么对应的概率为：

实际上借助decision tree，可以将其转为确定性算法。

六. 推荐论文

（1）格上CVP问题介绍

L. Babai, "On Lovhsz' lattice reduction and the nearest lattice point problem," Combinatorica (1986), pp. 1-13.

（2）介绍闵可夫斯基凸体定理

R. Kannan, "Minkowski's convex body theorem and integer programming," Mathematics o] Operations Research, vol. 12 (1987), pp. 415-440.

（3）介绍KZ基

J. C. Lagarias, H. W. Lenstra, and C. P. Schnorr, "Korkin-Zolotarev Bases and successive minima ofa lattice and its reciprocal lattice," Combinatorica (1990), pp. 333-348.