现代信号处理基础（附MATLAB代码）

唠嗑！

墨衍会员 · AI 创作全网分发码龄5年

关注

原创 2024-01-15 14:40:49 2.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

信号处理——基础知识及常用算法 信号处理——基础概念及常用算法阅读详情

一. 谐波过程

谐波过程可以描述为如下：

$x(n)=\sum_{i=1}^N A_icos(\omega_in+\theta_i),\quad i=1,2,\cdots,n$

上式子中的 $A_i$ 和 $\omega_i$ 是常数， $\theta_i$ 是彼此独立且服从均匀分布的随机变量，其概率密度定义如下：

$P(\theta_i)=\frac{1}{2\pi}\quad -\pi<\theta_i\leq \pi$

均值定义如下：

$E[x(n)]=\int_{-\infty}^\infty x(n)p(\theta_i)d\theta_i$

进一步化简可得：

$E[x(n)]=\sum_{i=1}^N A_i\int_{-\pi}^\pi cos(\omega_in+\theta_i)\frac{1}{2\pi}d\theta_i=0$

谐波过程是具有零均值的平稳过程，此可以由其自相关函数解释，如下：

谐波的方差可计算如下：

$\sigma^2_x=r_{xx}(0)=\sum_{i=1}^N \frac{A_i^2}{2}$

谐波的功率谱可得：

二. 白噪声序列

2.1 白噪声

若随机信号序列x(n)的随机变量是两两互不相关的，则称该序列为白噪声序列，如下：

如果定义中， $\sigma_{x_n}^2$ 为常数，则该白噪声序列是平稳的，如下：

$cov(x_n,x_m)=\sigma^2\delta_{nm}$

如果均值 $m_x=0$ ，那么平稳白噪声序列具有如下性质：

$r_{xx}(m)=\sigma^2\delta(m),\quad P_{xx}(e^{j\omega})=\sigma^2$

2.2 带限白噪声

白噪声是一种理想信号，在实际中是不存在的。在工程中，只要信号功率谱在某个有限频带内基本恒定，且带宽大于系统带宽时，则称为有限白噪声。此时可得：

$P_{xx}(e^{j\omega})=\sigma^2 \quad |\omega|\leq W$

$r_{xx}(m)=\sigma^2\frac{sin Wm}{\pi m}$

如果白噪声是带通的，那么中心频率在 $\pm \omega_0$ ，带宽时B，可得：

$P_{xx}(e^{j\omega})=\sigma^2 \quad \omega_0-\frac{B}{2}\leq |\omega|\leq \omega_0+\frac{B}{2}$

根据傅氏变换频移定理可得其相关函数为：

$r_{xx}(m)=2\sigma^2\frac{sin\frac{Bm}{2}}{\pi m}cos\omega_0m$

一般从两个角度研究相位噪声的模型：一是根据振荡器中信号相位噪声产生的机理，分析各种影响相位噪声的因素及其关系，以建立振荡器信号相位噪声的特征和数学模型；二是根据振荡器信号的相位噪声测量结果，分析其相位噪声曲线与频率之间的函数特征，以建立振荡器信号相位噪声的数学模型。

三. 高斯正太随机信号

定义X和M如下：

$X=[x_1,x_2,\cdots,x_N]\quad M=[m_1,m_2,\cdots,m_N]$

那么正态随机信号x(n)的N维联合概率密度函数为：

$P(x_1,x_2,\cdots,x_N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}|var X|^{\frac{1}{2}}}e^{[-\frac{1}{2}(X-M)^T(varX)^{-1}(X-M)]}$

上式子中的varX为X的N维方差矩阵。

具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称之为高斯-马尔科夫过程。

高斯-马尔科夫信号的自相关函数定义如下：

$R_X(m)=\sigma^2e^{-\beta|m|}$

高斯-马尔科夫信号的谱密度函数定义为：

$P_{xx}(e^{j\omega})=\frac{2\sigma^2\beta}{\omega^2+\beta^2}$

四. 稳定系统与因果系统

4.1 稳定系统

有界输入必导致有界输出的系统称之为稳定系统。

对连续系统有绝对可积分：

$\int_{-\infty}^\infty |h(t)|dt<\infty$

对离散系统有绝对可求和：

$\sum_{k=-\infty}^\infty|h(t)|<\infty$

4.2 因果系统

输出必在输入之后称之为因果系统，理解为：

$h(t)=0,\forall t<0$

且有：

五. 自相关和自协方差函数

利用 $\tau$ 代表时间差，如下：

$\tau=t_1-t_2$

可得自相关函数的定义：

$R_{xx}(\tau)=E\lbrace x(t)x^*(t-\tau)\rbrace$

自协方差函数可得：

$C_{xx}(\tau)=E\lbrace [x(t)-\mu_x][x(t-\tau)-\mu_x]^*\rbrace$

两者的关系可以表示为：

$C_{xx}(\tau)=R_{xx}(\tau)-|\mu_x|^2$

对于零均值的变量而言，两者是一样的，如下：

$C_{xx}(\tau)=R_{xx}(\tau)$

满足对称性：

四个极限值：

最大值相关：

六. 基于MATLAB的滤波器

（1）脉冲响应不变法设计数字 ButterWorth 滤波器

在MATLAB中调用格式：[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)

在给定模拟滤波器参数 b，a 和取样频率 Fs 的前提下，计算数字滤波器的参数。两者的冲激响应不变，即模拟滤波器的冲激响应按 Fs 取样后等同于数字滤波器的冲激响应。

（2）利用双线性变换法设计数字 ButterWorth 滤波器

在MATLAB中调用格式：调用格式：[bz,az]=bilinear[b,a,Fs]

根据给定的分子 b、分母系数 a 和取样频率 Fs，根据双线性变换将模拟滤波器变换成离散滤波器，具有分子系数向量 bz 和分母系数向量 az。模拟域的 butter 函数说明与数字域的函数说明相同。

[b,a]=butter(n,Wn,’s’)可以得到模拟域的Butterworth 滤波器

来看一个例题：

采样频率为 1Hz，通带临界频率 fp =0.2Hz，通带内衰减小于 1dB（αp=1）；阻带临界频率 fs=0.3Hz，阻带内衰减大于 25dB（αs=25）。设计一个数字滤波器满足以上参数。

解：

MATLAB代码如下

clear;
clc;
close all;

%直接设计数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25);
[b,a]=butter(n,Wn); 
freqz(b,a,512,1);
%脉冲响应不变法设计数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25,'s');
[b,a]=butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a)
[bz,az]=impinvar(b,a,1); 
freqz(bz,az,512,1)
%双线性变换法设计 ButterWorth 数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25,'s');
[b,a]=butter(n,Wn,'s');
freqs(b,a)
[bz,az]=bilinear(b,a,1); 
freqz(bz,az,512,1)

运行结果为：