RBM学习算法

RBM基础

RBM模型是基于能量的模型。对于一组给定的状态$(v.h)$,其能量函数为

$$E_\theta(v,h)=-\displaystyle \sum_{i=1}^{N_v}a_iv_i-\displaystyle \sum_{j=1}^{N_h}b_jh_j-\displaystyle \sum_{i=1}^{N_v}\displaystyle \sum_{j=1}^{N_h}h_jw_{ji}v_i$$ 利用上述能量函数给出 $(v.h)$的联合分布为 $$P_\theta(v,h)=\frac {1}{Z_\theta}e^{-E_\theta(v,h)}$$
其中， $\theta=(W,a,b)$, $W=[w_{ij}]_{N_v*N_h}$表示 $v_i$和 $h_j$之间的连接权重， $a=(a_1,a_2,...,a_{N_v})$、 $b=(b_1,b_2,...,b_{N_h})$分别表示观测单元 $v$,隐藏单元$h$的偏置。 $Z_\theta=\displaystyle \sum_{v,h}e^{-E_\theta(v,h)}$

RBM的学习算法

求解更好拟合训练数据的RBM参数$\theta$,方法是使用极大似然法，极大似然函数为

$$L_\theta=P_\theta (v)=\sum_{h}P_\theta(v|h)$$ 设训练样本集合 $S=(v^1,...,v^{N_s})$,对数极大似然函数为 $$\ln L_{\theta ,S}=\ln(\prod_{n=1}^{N_s}P_\theta (v^n))=\sum_{n=1}^{N_s}\ln P_\theta(v^n)$$
此时，RBM学习的目标为极大化上式，使用梯度上升(gradient ascent),通过如下的迭代格式来求解 $$\theta :=\theta +\eta \frac{\partial \ln L_{\theta,S} }{\partial \theta}$$ $\eta$是学习率，问题的关键是求解梯度 $\frac{\partial \ln L_{\theta,S} }{\partial \theta}$,省略 $L_{\theta,S}$中的 $\theta$,对于单个样本 $\color{red}{v}$计算似然函数 $$\begin{align}\ln L_{S}&=\ln P(\color{red}{v}) \\ &=\ln(\frac{1}{Z}\sum_{h}e^{-E(\color{red}{v},h)}) \\ &=\ln \sum_h e^{-E(\color{red}{v},h)}-\ln Z \\ &=\ln \sum_h e^{-E(\color{red}{v},h)}-\ln \sum_{v,h}e^{-E(v,h)}\end {align}$$
上式中红色 $\color{red}{v}$表示单个训练样本，黑色 $v$表示任意的训练样本。针对单个样本$\color{red}{v}$进一步计算梯度(省略了推导过程) $$\begin{align}\frac {\partial L_S}{\partial \theta} &=\frac {\partial \ln P(\color{red}v)}{\partial \theta} \\ &=-\sum_hP(h|\color{red}v)\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial \theta}+\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial \theta}\end{align}$$ 上式中包含两个期望，第一个 $\sum_hP(h|\color{red}v)\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial \theta}$为能量梯度 $\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial \theta}$在分布 $P(h|\color{red}v)$下的期望，对应每个训练样本数据遍历其可能的隐藏数据的值，可以求得；第二个 $\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial \theta}$为能量梯度 $\frac {\partial E(v,h)}{\partial \theta}$在分布 $P(v,h)$下的期望,对应于每个可能的 $v$求其隐藏数据的值，计算量非常大。其中， $$\begin{align}\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial \theta} &=\sum_v \sum_h P(v)P(h|v)\frac{\partial E(v,h)}{\partial \theta} \\ &=\sum_vP(v)\sum_hP(h|v)\frac{\partial E(v,h)}{\partial \theta} \end{align}$$ 因此，只需讨论 $\sum_hP(h|v)\frac{\partial E(v,h)}{\partial \theta}$的计算，下面对 $\theta=(w_{ij},a_i,b_j)$分别进行计算（省略推导过程） $$\begin{align}\sum_hP(h|v)\frac {\partial E(v,h)}{\partial w_{ij}}&=-P(h_i=1|v)v_j \\ \sum_hP(h|v)\frac {\partial E(v,h)}{\partial a_{i}}&=-v_i \\ \sum_hP(h|v)\frac {\partial E(v,h)}{\partial b_{j}}&=-P(h_j=1|v) \end{align}$$ 对于单个训练样本 $\color{red}{v}$,各个梯度为
$$\begin{align}\frac {\partial \ln P(\color{red}v)}{\partial w_{i,j}} &=-\sum_hP(h|\color{red}v)\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial w_{i,j}}+\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial w_{i,j}} \\ &=P(h_i=1|\color{red}v)v_j-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)v_j \end{align}$$
$$\begin{align} \frac {\partial \ln P(\color{red}v)}{\partial a_i} &=-\sum_hP(h|\color{red}v)\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial a_i}+\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial a_i} \\ &=\color{red}v_i-\sum_vP(v)v_i\end{align}$$
$$\begin{align} \frac {\partial \ln P(\color{red}v)}{\partial b_j} &=-\sum_hP(h|\color{red}v)\frac {\partial E(\color{red}v,h)}{\partial b_j}+\sum_{v,h}P(v,h)\frac {\partial E(v,h)}{\partial b_j} \\ &=P(h_i=1|\color{red}v)-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)\end{align}$$
以上是针对单个训练样本的情形，在整个样本空间 $S={v^1,...,v^{n_s}}$上有 $\frac {\partial L_S}{\partial \theta}=\frac {\partial \ln P(v^m)}{\partial \theta}$从而可得如下公式， $$\begin{align}\frac {\partial \ln P(v)}{\partial w_{i,j}} &=\sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)\color{red}v^m_j-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)v_j ] \\ \frac {\partial \ln P(v)}{\partial a_i} &=\sum_{m=1}^{N_s}[\color{red}v^m_i-\sum_vP(v)v_i] \\\frac {\partial \ln P(v)}{\partial b_j} &=\sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)]\end{align}$$ 上述三个公式中， $\sum_v$项的计算复杂度为 $O(2^{N_v+N_h})$,可以通过MCMC方法如Gibbs进行采样，并用样本对 $\sum_v$项进行估计。k步Gibbs抽样过程如下 $$\begin{align}h^{(0)} \leftarrow P(h|v^{(0)})&,v^{(1)}\leftarrow P(v|h^{(0)}) \\ h^{(1)}\leftarrow P(h|v^{(1)})&,v^{(2)}\leftarrow P(v|h^{(1)}) \\... \ \ \ &,v^{(k)}\leftarrow P(v|h^{(k-1)}) \end{align}$$ 这样得到的 $v^{(k)}$可以用来估计上式中的 $\sum_v$项,根据MCMC采样的思想，将上述三个式子进一步推导，并使用 $v^{(k)}$来近似可得
$$\begin{align}\frac {\partial \ln P(v)}{\partial w_{i,j}} &=\sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)\color{red}v^m_j-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)v_j ]\approx \sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)\color{red}v^m_j-P(h_i=1|v^{(k)})v_j^{(k)} ] \\ \frac {\partial \ln P(v)}{\partial a_i} &=\sum_{m=1}^{N_s}[\color{red}v^m_i-\sum_vP(v)v_i] \approx\sum_{m=1}^{N_s}[\color{red}v^m_i-v_i^{(k)}] \\\frac {\partial \ln P(v)}{\partial b_j} &=\sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)-\sum_vP(v)P(h_i=1|v)] \approx \sum_{m=1}^{N_s}[P(h_i=1|\color{red}v^m)-P(h_i=1|v^{(k)})]\end{align}$$ 但是常规的gibbs采样的 $k$需要足够大，才能使得采集到的样本符合RBM分布，Hinton教授发明了对比散度(Contrastive Divergence,CD)方法，通过使用训练样本集$S$中的观测数据 $v^i$来初始化 $v^{(0)}$来减少状态转移次数，具体做法是在算法的开始将可见状态 $v^{(0)}$设置为一个训练样本，并使用条件概率 $P(h_j=1|v^{(0)})$对每个隐藏单元抽取0~1之间的概率值，然后利用 $P(v_i=1|h^{(0)})$对观测单元抽取概率值，这样就得到 $v^{(1)}$,一般 $v^{(1)}$就够了，即 $k=1$,如下是CD-k算法的主要步骤：
$CDK(k,S,RBM();\Delta w,\Delta a,Delta b)$
- 输入： $k,S,RBM(W,a,b)$
- 输出： $D_w,D_a,D_b$
step 1 初始化： $\Delta w=0,\Delta a=0,\Delta b=0$
Step 2 对S中的样本循环生成 $\Delta w,\Delta a,\Delta b$
$$\begin{align} &FOR \ v \in S \ DO \\ & \{ \\ &\qquad v^{(0)}:=v \\ &\qquad FOR \ t=0,1,...,k-1 \ DO \\ &\qquad \{ \\ &\qquad \qquad h^{(t)}=sample\_h\_given\_v(v^{(t)},RBM(w,a,b));\\ &\qquad \qquad v^{(t+1)}=sample\_v\_given\_h(h^{(t)},RBM(w,a,b));\\ & \qquad \} \\ &\qquad FOR \ i=1,2,...,N_v;j=1,2,...,N_h \ DO\\ &\qquad \{ \\ &\qquad \qquad \Delta w_{i,j}=\Delta w_{i,j}+[P(h_j=1|v^{(0)})v_i^{(0)}-P(h_j=1|v^{(k)})v_i^{(k)}];\\ &\qquad \qquad \Delta a_{i}=\Delta a_{i}+[v_i^{(0)}-v_i^{(k)}];\\ &\qquad \qquad \ \Delta b_{j}=\Delta b_{j}+[P(h_j=1|v^{(0)})-P(h_j=1|v^{(k)})]; \\ & \qquad \} \\ &\} \end{align}$$ 其中，记 $p_i^h=P（v_i=1|h),i=1,2,...,N_v \ $, $sample\_v\_given\_h$的计算可写成
$$\begin{align} &FOR \ v \in S \ DO \\ & \{ \\ &\qquad generateRadom \ r_i \in [0,1]; \\ &\qquad v_i=\cases{{1,\quad if \ r_i <p_i^h};\\{0, \quad otherwise.}}\\ &\} \end{align}$$
$sample\_h\_given\_v$的计算与 $sample\_v\_given\_h$类似.
将上述的 $CD-k$算法用于完整的RBM算法如下
Step 1 初始化
(1)给定训练样本集合 $S(|S|==N_s)$
(2)给定训练周期 $J$,学习率$\eta$以及 $CD-k$算法参数 $k$
(3)指定可见层和隐藏层的单元数目$N_v,N_h$
(4)初始化偏置向量以及权重矩阵 $(a,b,w)$
Step 2 训练

$$\begin{align} &FOR \ iter =1,2,...,J \ DO \\ &\{ \\ &\qquad CDK(k,S,RBM(W,a,b)); \\ &\qquad UPDATE \ W=W+\eta (\frac {1}{N_s}\Delta W),a=a+\eta (\frac {1}{N_s}\Delta a),b=b+\eta (\frac {1}{N_s}\Delta b) \\ &\} \end{align}$$
使用Python实现上述算法的示例