金融工程引论--Notes 1

假设两类资产：一种无风险资产，另一种是风险证券。  前者银行存款或者由政府、金融机构、公司发行的债券；后者通常是股票。

风险证券的头寸position是指investor持有的证券份数， 一份的价格用S（t）（时间 t=  0，T）表示。

S(0)是已知的，S(T)是未知的。收益率: Ks =( S(T) - S(0) ) /S(0)  ，它也是不确定性的。

无风险的头寸是指银行账户中的金额，也可以选择债券，价格用 A(t) (时间 t = 0， T ) 表示。 

A(0) ,A(T)都是已知的，具有确定性。 收益率 K a = (A(T) - A(0)) / A(0) 称为无风险收益率。

在时间t = 0、T， 持有x份证券和y份债券的投资者的总财富  V(t) = x S(t) + y A(t) 

数对（x , y）被称为资产组合(portfolio)，V（t）是资产组合的价值value，

资产组合的收益率  K v = ( V(T) -V(0) ) / V(0)         风险证券或债券的收益率是x=0或y=0的特殊情况。

如果资产组合中持有的证券数量是正的，称为多头头寸（long position），否则持有空头头寸(short position),或称投资者卖空(short selling)资产。

无套利原则：

不存在满足如下条件的资产组合(x, y),其初始价值V(0) = 0, V(T) >= 0 的概率为1 且 V(T) > 0 的概率非零。

投资者无风险且没有初始财富就不能锁定利润，如果违背了这个原则的资产组合存在，称为存在套利（arbitrage）机会。

套利机会很少存在，若存在追求套利利润的投资者（投机者）的行为有效的消除了套利机会。

二叉树模型 (1/

只考虑最简单例子，S(T) 只取两个不同的值，分别概率p和1-p

S(T)  =  {  Su(T)  概率p

              {  Sd(T)  概率1-p                  其中Sd(T) < Su(T) 且 0< p < 1  

二叉树模型中，必须满足约束：

Sd(T) / S (0) < A(T) / A (0) < Su(T)/S(0)

否则出现套利机会。

若Sd(T)/S(0) >= A(T)/A(0)  股票T的下限收益率超过无风险收益， 故借入 S(0) 无风险资产，买入股票。 V(0) = 0   , V(T) 为非负随机变量，提供套利机会。

若A(T)/A(0) >= Su(T)/S(0) 股票T的上限低于风险收益，  卖空S(0), 投资S(0)无风险资产. V(0) = 0 ，最终V（T）为非负随机变量，提供套利机会。

期望收益：expected return, 即资产组合收益率的数学期望：

  E（Kv) =  Kuv * p +  Kdv * (1-p)             Kuv  上升时Kv，概率为p， Kdv 下降时Kv，概率为1-p

风险risk定义为Kv的标准差 :σv =  (  ( ( Kuv - E(Kv) ）^2 )  *p +  ((Kdv - E(Kv))^2) * (1-p)  ) ^ (1/2)

完全投资无风险则E（Kv） = Ka  ，  σv = 0

远期合约 forward contract 是在未来指定的时间以现在确定的固定价格F买入或者卖出风险资产的协议，指定的日期为 交割日（delivery date), 当期固定的价格F为远期价格（forward price)。

同意买入资产的称为远期合约多头(enter into a long forward contract) 或者为取得远期多头头寸(long forward position). 同意卖出资产的投资者为远期合约空头(short forward contract)或者

取得空头远期头寸（short forward position).远期合约交易时，无现金支付。

交割日是，远期多头头寸的回报为 S(T) - F   ,对于远期空头头寸回报为  F-S(T)

现在用三元组（x,y,z)表示资产组合 x为股票，y为债券，z为远期合约（多头正，空头负） 因交易时无现金支付。 V（0） = x* S(0) + y* A(0)  

交割日 V(T) = x*S(T) + y* A(T) + z(S(T) - F)

假设风险资产没有持有成本，则远期价格必满足：

F = S(0) * A(T) / A(0)  = S(0) * (1 + Ka), 否则存在套利。

若 F > S(0) (1+ Ka) ,  借入无风险资产S(0) 买入风险资产，购买远期F的合约空头  资产组合（1，- S(0)/A(0),-1)  ，初始V（0） = 0， 交割日，F卖出风险资产，终止无风险头寸S(0)/A(0)*A(T) = S(0)(1+Ka)，V（T) = F - S(0)(1+Ka)  > 0

若F < S(0) (1 + Ka) ,  以S(0)卖空风险资产，购买无风险资产，取得远期F，交割日T的合约多头，  资产组合（-1，S(0)/A(0),1) 初始V(0) = 0, 交割日T，获得无风险金额S(0)(1+Ka), F价格购买风险资产结清风险资产，V(T) = S(0)(1+Ka) - F > 0.