对递归的深刻理解

转载大佬的一篇文章：
递归
递归当然只能以递归的思路理解，把它展开纯属自讨苦吃。递归思路，说白了是如下三步：1、对于问题N，如果N-1已经解决了，那么N是否很容易解决。甲：想上天？你先给我找个天一样高的梯子！乙：想要天一样高的梯子？你先给我弄棵天一样高的树！甲：想要天一样高的树？你先给我弄把能顶到天的锯子！……举例来说，如果要把一个N层汉诺塔从A搬到C，那么：如果前N-1层可以找别人搞定，咱只管搬第N层，会不会变得非常容易？你看，这一下就简单了：这时当它只有两层就好了，先把前N-1层看作一个整体，把它搬到B；然后把最下面的第N层搬到C；然后再把前N-1层从B搬到C。类似的，假如接到“搬前N-1层”这个任务的是我们，怎么搬呢？简单，像前东家一样，把前N-2层外包出去，我们只搬第N-1层——其实和前面讨论过的“外包N-1层，只搬第N层”完全一样嘛。依此类推，一层层“外包”下去——我不管你们有多伤脑筋，反正只要你们把我外包给你的活干了，我就能干了我的活！注意，这里千万别管“接到外包工作的家伙有多伤脑筋”——丢给他就让他头疼去，我们就别再捡回来痛苦自己了。这一步就是“递推”。注意这里的搬法：搬第N层，就需要把前N-1层搬两次，另外再把第N层搬一次；搬第N-1层，又需要把前N-2层搬两次，然后再把N-1层搬一次，依此类推。很容易知道，一共需要搬2^{N-1次。2、一步步递推下去，终究会有个“包工头”，接到“搬第一层”的任务。第一层怎么搬？太简单了，让搬哪搬哪。换句话说，到此，“递推”就到了极限，简单粗暴直接做就可以了。3、既然第一层搬了，那么第二层当然就可以搬了；第二层搬了，第三层又可以搬了……依次类推，直到第N层。于是问题搞定。这一步就是“回归”。如上三步加起来，就是“递归”。推而广之，任何问题，不管规模为N时有多复杂，只要把N-1那块“外包”给别人做之后，我们在这个基础上可以轻易完成N，那么它很可能就适合用“递归”解决。那么，怎么最终确定它能不能用“递归”做呢？看当N取1或2之类最简情况时，问题是否可以解决——然后写程序解决它。容易看出，“递归”其实和“数学归纳法”的思路非常像：证明N=1时成立；证明若N=n-1成立，则N=n时也成立；如上两步得证，则命题在n>1时一定成立（n为自然数）。你看，我们没必要从1开始逐一验证每个自然数，只要证明了“基础条件”、再证明了“递推条件”，大自然的规律会帮我们搞定一切。换句话说，只要我们：1、写程序告诉电脑“如何分解一个问题”2、写程序告诉电脑“当该问题分解到最简时如何处理”那么，“具体如何递推、如何回归”这个简单问题就不要再操心了，电脑自己能搞定。——写出问题分解方法、写出分解到最简后如何解决，这是我们的任务；把问题搞定，是电脑的任务。这就是递归的魅力。正是由于这种“我提供思路你搞定细节”的特点，“一切皆递归”的函数系语言才被称为“声明式编程”（而不是必须一步一步指导电脑如何做的“命令式编程”）。这么简单轻松的事，非要自己吭哧吭哧一步步做出来——O(2}N)规模啊——难怪你们要陷入困境。