复杂度分析

文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

事后统计法

测试结果依赖环境；2 与测试的数据集大小有关

大O复杂度表示法

所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比.  

$T(n)=O(f(n))$

时间复杂度分析

1 只关注循环次数最多的一段代码。
2 加法法则：总复杂度等于量级最大的那代码的复杂度。
3 乘法法则：嵌套代码的复杂度=嵌套内外代码复杂度的乘积。

• 几种常见的复杂度
  • 1 O(1)
    O(1)表示是常量级别，并不是只执行一行代码。
  • 2 O(logn) O(nlogn)
    对数阶时间复杂度很常见，只是比较难看出来。例如二分查找。logn 是指不管底数是多少，都即为logn。空间复杂度一般不会有这种复杂度。
  • 3 O(m+n) O(m*n)
    时间复杂度由2个数据的规模来决定。常见的输入是一个二维数组的情况下多数是这样的。
  • 4O($n^2$)
    当m=n的时候上面的复杂度就变为O($n^2$)。
  • 5O($2^n$)
    对数阶
  • 6O(n!)
    阶乘阶

复杂度分析的4种情况

最好情况时间复杂度

最省时间的情况

最坏情况时间复杂度

耗时最多的情况

平均情况时间复杂度

例如在无序数组中查找一个数。数组长度为n。可能1次命中，可能2次，可能3次…最多可能是n次，也有可能不在数组中。需要的操作分别为1，2，3…n,n次。我们假设x出现在数组中和不出现在数组中的概率分别为$\frac{1}{2}$。出现在数组中每个位置的概率为$\frac{1}{n}$。最后得到平均复杂度O(n)。
$1\ast \frac{1}{2n}+2\ast \frac{1}{2n}+...n\ast \frac{1}{2n}+n\ast \frac{1}{2}=\frac{1+2+3...+n+n^2}{2n}=\frac{(1+n)\ast n+2n^2}{4n}=\frac{3n+1}{4}$

均摊时间复杂度

例如ArrayList的插入。首先开辟n个空间。从0到n-1，插入复杂度O(1)。第n次，需要扩容，复制原数组，再插入，复杂度O(n)。再接下来的n+1到2n-1次，插入复杂度O(1)。第2n次，需要扩容，复制原数组，再插入，复杂度O(n)。如此往复。我们可以把O(n)的复杂度均摊到前面的n次操作中，从而得到均摊时间复杂度O(1)。