欧拉角(Euler Angles)

【原文来自：http://blog.youkuaiyun.com/zhang11wu4/article/details/47754035】

欧拉角 Written by  Paul Bourke June 2000 通用旋转矩阵中欧拉角的萃取 by R.D. Kriz (2006).

在不同坐标系的转换过程中经常要用到坐标轴的旋转。在这里用到的是右手笛卡尔空间直角坐标系(y轴指向前方，x轴指向右方，z轴指向上方)，为了方便描述关于不同数轴的旋转，我们将使用不同的术语。 我们约定关于z轴的旋转叫做扭转(direction)，关于y轴的旋转叫做翻转 (roll) ，关于x轴的旋转叫做推转(pitch) 。进一步，我们约定正旋转为顺时针（从数轴正方向看原点），负旋转为逆时针。更多的约定读者可以自行处理。

注意下面给出的三个旋转矩阵看起来并不是对称的

关于x轴旋转t_x 度（或者说推转t_x 度）：

x' y' z'

=

1 0 0 0 cos(tx) sin(tx) 0 -sin(tx) cos(tx)

x y z

关于y轴旋转 t_y 度（或者说翻转 t_y 度）

x' y' z'

=

cos(ty) 0 -sin(ty) 0 1 0 sin(ty) 0 cos(ty)

x y z

关于z轴旋转 t_z 度（或者说扭转 t_z 度）

x' y' z'

=

cos(tz) sin(tz) 0 -sin(tz) cos(tz) 0 0 0 1

x y z

在使用这些转换矩阵是，转换矩阵之间的次序是非常重要的。我们把以上的旋转矩阵分别叫做R_x(t), R_y(t), 和 R_z(t)，当他们以次序一：R_z(t) R_x(t) R_y(t)执行旋转，或者以次序二 R_x(t) R_y(t) R_z(t)执行旋转，将会得到不同的结果。以下将会讨论其中一种矩阵的旋转次序，同理可得剩下的矩阵次序组合，这些将留个读者自行推导。我们要讨论的次序是：先翻转(关于y轴旋转)，在推转(关于x轴旋转)，最后扭转(关于z轴旋转)。这个也可能是在游戏或者飞行模拟中最常用的次序。

x' y' z'

= Rz(t) Rx(t) Ry(t)

x y z

写成单个矩阵A（矩阵结合后）就是：

cos(tz) cos(ty) + sin(tz) sin(tx) sin(ty)    sin(tz) cos(tx)    -cos(tz) sin(ty) + sin(tz) sin(tx) cos(ty) -sin(tz) cos(ty) + cos(tz) sin(tx) sin(ty)    cos (tz) cos(tx)    sin(tz) sin(ty) + cos(tz) sin(tx) cos(ty) cos(tx) sin(ty)    -sin(tx)    cos(tx) cos(ty)

另外一个要求是：给定一个新的坐标系，如何去推导相对应的三个欧拉角。如果新坐标系的正交向量(正交向量是指所有向量之间两两垂直)是X,Y,Z 那么从从坐标系 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 到新坐标系的转换矩阵B就是：

Xx Yx Zx Xy Yy Zy Xz Yz Zz

由于矩阵A和B是同一个矩阵，对比可得：
Y _z = -sin(t _x)
所以：
t _x = asin(-Y _z)

又有：

cos(t _x) (-sin(t _y), cos((t _y)) = (X _z, Z _z)
所以：
t _y = atan2(X _z, Z _z))

最后有：

cos(t _x) (sin(t _z, cos(t _z)) = (Y _x, Y _y)
所以：
t _z = atan2(Y _x, Y _y)

注意:

• 以上用到的函数 atan2() 需要两个参数来计算正确的象限结果。它和代数的tan()函数有所不同。

• 当赋予指定的值给以上 t_x, t_y,和 t_z 时，存在多个不同的解。也就是说，对于同一个坐标系转换，存在多个不同的欧拉角组合解。