The Euler function(欧拉函数）

Problem Description

　　The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)

　　Input

　　There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

　　Output

　　Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)

　　Sample Input

　　3 100

　　Sample Output

　　3042

题意：输入a，b输出a~~b欧拉函数之和

题解：欧拉函数模板题

定义： 对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目；

　　例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。

　　性质： 1. 若p是质数，φ（p）= p-1.

　　2. 若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1)

　　因为除了p的倍数都与n互质

　　3. 欧拉函数是积性函数，若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)

　　根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式，因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。

　　E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))

　　= k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)

　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)

　　若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

　　若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

打表求解

#include<iostream>
using namespace std;
__int64 phi[3000001];
int main()
{

　　int i,j;
　　for(i=1;i<3000001;i++) ph[i]=i;
　　for(i=2;i<3000001;i+=2) ph[i]/=2;
　　for(i=3;i<3000001;i+=2)
　　if(ph[i]==i)
　　{
　　for(j=i;j<3000001;j+=i)
　　phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
　　}
　　int a,b;
　　__int64 sum;
　　while(cin>>a>>b)
　　{
　　sum=0;
　　for(i=a;i<=b;i++)
　　sum+=phi;
　　printf("%I64d\n",sum);
　　}
　　return 0;
　　}