LeetCode之旅-2

今天做了一道题目：Add Digits
题目内容：
Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.

For example:

Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.

Follow up:
Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?

大致意思是：给定一个非负整型数字，重复相加其所有的数字直到最后的结果只有一位数。
看完题目觉得这道题很简单，不过看到后面的要求：不能使用任何循环和递归，而且在O(1)时间完成，这就觉得有点麻烦了。。。
不使用循环和递归能完成的话，说明给定的数字和结果一定存在某种规律，于是自己算了一下，
发现计算的之前的数和计算之后的数相差9的倍数。即$C_0-C_1=9S$ 。
其中$C_n$为C第n次计算后的数，S由$C_0$的各个位数决定。
比如$C_0=1234$。
则
$C_0=1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0$
$C_1=1+2+3+4$
$C_0-C_1=1*(10^3-1)+2*(10^2-1)+3*(10^1-1)+4*(10^0-1)$ $=1*999+2*99+3*9$
$=9*(1*111+2*11+3*1)$

不过后面就没有头绪了。。。
于是在网上查了一下，发现了“Digital root（数根）”，维基百科里面介绍的很详细。

数根：将一非负整数的各个位数相加，若加完后的值大于等于10的话，则继续将各位数进行相加直到其值小于10为止，则所得的值为该数的数根。

求树根的方法是Congruence formula(同余式)，公式如下：

不过自己还是想证明一下
刚刚得出 $C_0=C_1+9S$，将两边模9，即：
$C_0\pmod 9=(C_1+9S)\pmod 9$
显然$C_0\equiv C_1\pmod 9$
所以一个数和它的各数位之和模9同余。

$$C_0\equiv C_1\equiv C_2...\equiv C_n \pmod9$$ $$C_n是C_{n-1}的各个位数之和$$

而数根d,是在0-10之间，即$0\le d \le 9$
所以数根$d\pmod 9=d$
因此

$$C \pmod9=d$$
不过有一种特殊情况，当C是9的倍数时，数根为9。

知道了算法，接下来就是写代码了，代码很简单，就一句：

public class Solution {
    public int addDigits(int num) {
        return 1+(num-1)%9;
    }
}

提交后，运行时间为2ms，但是！重点来了！！！
居然有0.04%的solution是1ms！！！
至今没找到1ms的方法。。。
希望在以后的学习中能够找到这个方法。

收获如下：

1. 数根
2. 一个数是不是9的倍数，可以通过该数各位数字之和来判断。
3. 在MarkDown编辑器中插入公式
4. 收获了几个英语单词：
   congruence(同余)
   formula(公式)
   non-negative(非负)
   recursion(递归)