快速幂（二进制优化）

原创 已于 2025-06-29 21:30:03 修改 · 711 阅读 · 7 ·
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#算法 #c++

于 2025-06-24 13:16:27 首次发布

快速幂介绍

快速幂是用了二进制优化。

模板题

P1226 【模板】快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int fast_pow(int a,int b,int mod)//分别是底数、幂次、模式
{
   
   
    int ans = 1;//答案
    while(b)
    {
   
   
        if(b & 1)
        {
   
   
            ans = (ans * a)
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### 多重背包问题的二进制优化及其在ACM编程竞赛中的实现 #### 背景介绍 多重背包问题是经典的动态规划问题之一，其核心在于给定一组物品，每个物品有一个重量和价值，并且每种类型的物品有多个副本。目标是在不超过总容量的情况下最大化所选物品的价值之和。 对于大规模数据集而言，朴素的做法效率低下。为了提高解决此类问题的速度，采用二进制分解技术是一种有效手段[^5]。该方法通过将数量较大的同一种类商品按照2的幂次分割成若干组来减少状态转移的数量级，从而降低整体计算量并加快执行速度。 #### 二进制优化原理 考虑当某件物品的数量`n[i]`较大时，直接枚举所有可能的选择数目会非常耗时。此时可利用二进制特性将其拆分为较小单位进行处理： - 将原物品种数按位拆分，即转换为由1, 2, 4...构成的新集合； - 对于每一个新生成的小批量货物视为独立个体参与后续运算过程； 这种变换使得原本O(n * V)的时间复杂度得以显著改善至接近线性的水平，极大地提高了算法性能。 #### Python代码示例 下面给出一段基于上述思想编写的Python程序片段用于说明如何具体实施此策略: ```python def binary_optimized_knapsack(weights, values, counts, capacity): n = len(counts) # Preprocess items into binary components new_weights = [] new_values = [] for i in range(n): k = 1 while counts[i] >= k: new_weights.append(k * weights[i]) new_values.append(k * values[i]) counts[i] -= k k <<= 1 if counts[i]: new_weights.append(counts[i] * weights[i]) new_values.append(counts[i] * values[i]) dp = [0] * (capacity + 1) for w, v in zip(new_weights, new_values): for j in reversed(range(capacity + 1)): if j >= w: dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + v) return dp[-1] weights = [3, 4, 7] values = [4, 5, 10] counts = [3, 3, 1] capacity = 10 print(binary_optimized_knapsack(weights, values, counts, capacity)) ``` 这段代码实现了对输入参数——各类型物件的质量列表、价值列表以及对应的最大可用次数数组——经过预处理后转化为适合快速求解的形式，并最终返回所能获得的最大收益值。
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