POJ 3252【Round Numbers】

最新推荐文章于 2021-11-03 18:03:25 发布

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数学

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本文介绍了一种计算指定区间内特定二进制数（圆数）数量的算法，通过转换十进制端点为二进制，并利用组合数学原理计算满足条件的二进制数个数。详细解析了算法思路，提供了C++实现代码。

题意：

对于一个二进制数，若其含 ‘0’ 的个数不少于 ‘1’ 的个数，则称之为 ‘round number’。现输入一个闭区间的左右端点，求此区间中 ‘round number’ 的数量。
数据范围：2e9，使用 ‘int’ 即可。

前言：

十分感谢EXP站，大概接下来很长一段时间就要在这里耕耘了。题解估计大多相似，以后不再提了。
感谢zhengnanlee的BLOG。
组合数第一题。
首先提出一些基本性质：参见上面的BLOG。

思路：

函数 round_number(int n) 为 【0 ， n） 内的 ‘round number’ 数量。则本题目标可转化为求round_number(right + 1) - round_number(left)。
定义函数 convert_decimal_to_binary(int n) 将输入的十进制端点变为二进制数，将它的数字（0/1）存在 binary[32] 中。
接下来我们计算 round number(left)：（设 left 二进制数位为 len）
1. 对于全部 ‘位数 < len’ 的二进制数 x，它的二进制形式除最高位必为‘1’，其余位数可随意选取，均能保证 x < left。欲使 x 为 ‘round number’，则须在 ‘x_len - 1’ 个位置中选择不少于 ‘x_len / 2’ 个置 ‘0’ 即可满足 ‘round number(left)’。
2. 对于全部 **‘位数 == len’**的二进制数 x，我们从左到右遍历一遍，每次将一个 ‘1’ 置 ‘0’，则它后面的位数可随意选取，均能保证 x < left。那么欲使 x 为 ‘round number’，需要在后面的位数中选择多少个数字置 ‘0’ 呢：
  
  设 index 表示从低到高（从右往左数）的第 index 位，zero_cnt 代表 index左边（不含index）共有多少个 ‘0’；设 a 为在右边填入 ‘1’ 的个数，b 为在右边填入 ‘0’ 的个数。
  
  有两个关系：
  1. index = a + b
  2. zero_cnt + 1 + b >= a + len - index - (zero_cnt + 1)
  可推得：b >= len / 2 - (zero_cnt + 1)。
  
  具体到代码中，还需根据 len 的奇偶性分析 b 的具体程序公式。

代码：

//716K		16MS
//left、right不可以做全局变量名

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int LEFT , RIGHT;
int C[32][32];
int binary[32];int len;
//C_31_15约等于3e8

void C_n_m(){
	memset(C , 0 , sizeof(C));
	for(int i=0;i<=31;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){//可以优化
			if(!j || i==j)
				C[i][j] = 1;
			else
				C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];//需要保证i > j
		}
	}
}

void convert_decimal_to_binary(int decimal){
	memset(binary , 0 , sizeof(binary));
	len = 0;
	while(decimal){
		binary[++len] = (decimal & 1);
		decimal>>=1;
	}
	return ;
}

int round_number(int decimal){
	convert_decimal_to_binary(decimal);
	int ans = 0;
	
	//长度小于len的round_number
	for(int i=1;i<len;i++)
		for(int j=i-1;j>=(i+1)/2;j--)//没有包括0
			ans += C[i-1][j];
	
	//长度等于len的round_number
	int zero_cnt=0;
	for(int index=len-1 ; index>=1 ; index--)
		if(binary[index])
			for(int j=(len+1)/2 - (zero_cnt+1) ; j<=(index-1) ; j++)
				ans += C[index-1][j];
		else
			zero_cnt++;
	return ans;
}

int main(){
	cin>>LEFT>>RIGHT;
	C_n_m();
	cout<<round_number(RIGHT+1) - round_number(LEFT)<<endl;
	return 0;
}