带有不同粘性系数的稳态N-S方程的几种迭代有限元方法的latex模板

\documentclass{article}
\linespread{2.0}
\usepackage{geometry}%页边距等
\geometry{left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}
 \usepackage{indentfirst}
\usepackage{CJK}
\begin{CJK*}{GBK}{song} %宋体中文
\begin{Huge}
\title{带有不同粘性系数的稳态N-S方程\\的几种迭代有限元方法}


\author{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}
\end{Huge}
\begin{document}
\maketitle
\begin{LARGE}
1 文章简介\\
\end{LARGE}
\begin{large}%字体大小
\\文章中考虑了稳态的不可压缩的N-S方程\\
\begin{equation}
\left\{
  \begin{array}{cc}
   -\nu \triangle u +(u\cdot \nabla )u+\nabla p=f  & in \Omega\\
   divu=0 & in \Omega\\
   u=0 & on \partial \Omega\\
   \int_{\Omega}pdx=0 & in \Omega\\
  \end{array}
\right.
\end{equation}


  方程描述了在有边界的区域里面定义的稳态的不可压缩粘性牛顿流体。这里$\Omega $是一个有Lipschitz连续边界 $\partial \Omega$ 的有界区域$R^{d}$ ,$u:\Omega \rightarrow R^{d}$和$p:\Omega \rightarrow R$分别是速度和压力，$\nu$和$f$分别是粘性系数和作用力。\\
  本文里，我们总是假设$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$。事实上，如果$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} \geq 1/4$,我们可以找到一个$\alpha$ 满足$\alpha ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$。
  于是，文中的所有结果是在$\alpha ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$代替$( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}<1/4$的时候总是正确的。我们令$\sigma = N \| f \| _{-1}/\nu ^{2}$,这里$N$ 在$（5）$中定义，然后可以通过$0 < \delta <1 $或者$\nu ^{2}>N \| f \| _{-1}$描述这个独一无二的条件;这个强的独一性是$\| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} \leq \delta <1$或者$\nu ^{2} \geq N  \| f \| _{-1} /(1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2})$;弱的独一性条件是$0<\delta <( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2} $或者$N \| f \| _{-1}/(1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2})$。通常来讲，$\delta $被认为是固定的常数。文章中$\delta $可以取$(0,1)$中的任意值。\\


  于是，对于小的$\sigma$ 满足强的独一性条件 $0<\sigma \leq ( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}$,我们设计了三个two-level 迭代有限元方法在一个网格大小为$H$的粗网格得到有限元的迭代解$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$，然后通过在一个网格大小$h<H$的细网格
  解决Stokes,Newton和Oseen修正问题得到有限元的迭代解$(u_{mh},p_{mh})$。这里，当$0<\sigma \leq 1/4$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Stokes,Newton和Oseen方法$m$次迭代获得，当$1/4<\sigma \leq 1/3$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Newton和Oseen方法$m$次迭代获得，当$1/3<\sigma \leq 1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}$,$(u_{H}^{m},p_{h}^{m})$是通过在粗网格上应用Oseen$m$次迭代获得。而且，one-level
   Oseen 有限元迭代方法是在弱的独一性条件下$1-( \| f \| _{-1}/ \| f_{0}\|)^{1/2}
   < \sigma <1$的时候使用的。\\


\begin{LARGE}
2 N-S方程的函数设定\\
\end{LARGE}
 \\令$\Omega $是$R^{d}$的一个凸多项式区域，我们引入下面的索伯列夫空间
 $$X=H_{0}^{1}(\Omega)^{d},Y=L^{2}(\Omega)^{d},M=L_{0}^{2}(\Omega)={q \in L^{2}(\Omega):\int _{\Omega}q(x)dx}$$
 我们用$(\cdot,\cdot),\|\|_{0}$表示内部作用和泛数，空间X有通常的标量作用$(\nabla u,\nabla v)$和$\| \nabla u \|_{0}$。泛数在索伯列夫空间$H^{k}(\Omega)$或者$H^{k}(\Omega)^{d}$中用$\|\cdot\|_{k}$表示，
 半泛数在索伯列夫空间$H^{k}(\Omega)$或者$H^{k}(\Omega)^{d}$中用$|\cdot|_{k}$表示，我们在$X\times X$和$X \times M$定义连续的双线性形式$a(u,v)$和$d(u,v)$
 $$a(u,v)=\nu (\nabla u,\nabla v),\quad \forall u,v\in X$$\\和\\
 $$d(u,v)=(q,div\nu),\quad \forall (\nu,q) \in (X,M)$$
  而且，我们定义三线性形式
  $$b(u,v,w)=((u\cdot \nabla)v,u)+\frac{1}{2} ((divu)v,w)=\frac{1}{2}((u\cdot \nabla)v,w)-\frac{1}{2}((u\cdot \nabla)w,v) ,\forall u,v,w \in X$$
  对于一个给定的$f \in L^{2}(\Omega)^{d}\quad problem(1)$ 可以被写成：求解$(u,p)\in (X,M)$满足
  \begin{equation}
  a(u,v)+d(u,v)-d(v,p)+b(u,u,v)=(f,v),\quad \forall (v,p)\in (X,M).
  \end{equation}
  我们关于Stokes问题作一个正则性的假设\\
  \begin{CJK*}{GBK}{hei}
  \\假设$A_{0}.$
  \end{CJK*}
  对于给定的$g \in L^{2}(\Omega)^{d}$和Stokes问题
  $$-\Delta \nu +\nabla q=g,\quad div \nu =0\quad in\Omega,\quad \nu |_{\partial \Omega}=0,$$
  我们假设$(\nu ,q)$满足下面的正则化结果 <