递归与分治：算法设计中的关键概念,-优快云博客

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title: 算法设计与分析–第二章
date: 2022-10-04 23:43:18
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算法设计
期末复习

大二下学期课程–算法设计与分析复习第二章

针对老师的ppt精简内容中的知识点，仅具参考

第二章递归与分支策略

递归的理解

在计算思维中最重的是一种自顶向下、先全局后局部的逆向思维，他被称为递归。与之相对应的是人类所采用的自底向上、先局部后全局的正向思维称之为递推。
简单来说就是自己调用自己。

递归的分类

直接递归：自己调用自己
间接递归：A调用B，B调用A

递归的特点

将问题分解为形式上更简单的子问题来进行求解。

递归算法模型

以前面的斐波那契数列为例：

$f (1) = 1$ …(1)
$f (n) = f (n - 1) * n$ …(2)

式子(1)称为递归边界，式子(2)称为递归体。
即一个递归体由递归边界与递归体两部分组成。

实际上递归的思路是把一个不能或者不好直接求解的“大问题转化为一个或者几个“小问题”来解决；
再把“小问题”进一步分解为更小的“小问题”来解决：如此分解，直到“小问题”可以直接求解。

递归算法的设计

先将整个问题划分为若干个子问题，通过分别求解子问题，最后获得整个问题的解。而这些子问题具有与原问题相同的求解方法，于是可以再将它们划分成若干个子问题，分别求解，如此反复进行，直到不能再划分成子问题，或已经可以求解为止。
这种自上而下将问题分解、求解，再自下而上引用、合并，求出最后解答的过程称为递归求解过程。

递归的例子

阶乘

[外链图片转存中…(img-2V6Fqx24-1696847767891)]

折半查找

int bsearch(int b[],int x, int L,int R){
    int mid ;
    
   	if(L > R) return -1 ;
    mid = (L + R) / 2 ;
    if(x == b[mid]) return mid ;
    else if(x < b[mid]) 
        return bsearch(b,x,L,mid - 1) ;
    else 
        return bsearch(b,x,mid + 1,R) ;
}

斐波那契序列

long fib(int n){
    if(n == 0 || n == 1) return n ;
    else return fib(n-1)+fib(n-2) ;
}

汉诺塔问题

void Hanoi(int n,char a,char b,char c){
    if(n == 1)
        cout << "将第" << n << "个盘片从" << a << "移动到" << c << endl ;
    else {
        Hanoi(n-1,a,c,b);
        cout << "将第" << n << "个盘片从" << a << "移动到" << c << endl ;
        Hanoi(n-1,b,a,c);
    }
}

递归执行过程

递归执行过程中的算法调用与返回的过程

算法调用
当在一个算法的运行期间调用另一个算法时，在运行该被调用算法之前，需先完成三项任务：
- 将返回地址、所有实参等信息传递给被调用算法保存：
- 为被调用算法的局部变量分配存储区
- 将控制转移到被调用算法的入口。
算法返回
从被调用算法返回调用算法之前，应该完成下列三项任务：
- 保存被调算法的计算结果；
- 释放被调算法保存局部变量的数据区；
- 依照被调算法保存的返回地址将控制转移到调用算法。

分治的基本思想

首先，它将一个复杂的问题分成若干个简单的子问题并进行解决，这一步被称为分割(divide)
然后解决每一个子问题，这一部被称为征服或解决(conquer),也就是分治这个词中“治”的来源。在这一步中，如果子问题非常简单，就直接解决了。如果子问题依然很大，那么还需要递归调用分治算法，把子问题分成更小一级的问题来解决，直到那些被分出的子问题能够直接解决为止。
最后对子问题的结果进行合并(combine),得到原有问题的解。

分治法的适用条件（选择题）

1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

合并排序

void MergeSort(Type a[], int left, int right) { 
     if (left<right) {//至少有 2 个元素 
		int i=(left+right)/2; //取中点 
         mergeSort(a, left, i);
         mergeSort(a, i+1, right); 
         merge(a, b, left, i, right); //合并到数组 b 
 		copy(a, b, left, right); //复制回数组 a 
 	} 
 }

最坏时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度：O(nlogn)
辅助空间：O(n)

快速排序

template<class Type> 
int RandomizedPartition (Type a[], int p, int r) 
{ 
 int i = Random(p,r); 
 Swap(a[i], a[p]); 
 return Partition (a, p, r); 
}

最坏时间复杂度：O(n2)
平均时间复杂度：O(nlogn)
辅助空间：O(n)或 O(logn)

找第二大

锦标赛算法(伪代码)

FindSecond
输入：n个数的数组L
输出：Second
	1.k←-n
	2.将k个元素两两一组，分成Lk/2」组
	3.每组的2个数比较，找到较大的数
	4.将被淘汰的较小的数在淘汰它的数所指向的链表中
	做记录
	5.ifk为奇数then k←Lk/2+1
	6.esek←Lk/2」
	7.if k>1 then goto 2
	8.mx←最大数
	9.Second←max的链表中的最大

时间复杂度：O(n)