WrittenExam：数相关

前言

2025年3月 开始找 Internship 了。笔试的时候遇到了一些问题，是 before 自己 can do 的但是忘记了更好的方法，于是笔试完后将 significant 内容记录在 Blog 中，供自己日后考古。

1. 质数（Prime Number）

对于质数没有什么好说的，definition is 因数 only 自己 和 1 的数。那么如何快速判断一个数是否是质数则是一个很好的问题，下面是几条 Theorem：

• 一个正整数 $\mathbf{N}$，其因数不会超过 $\sqrt{\mathbf{N}}$
• 超过 $3$ 的质数，都在 $6$ 的倍数附近，即满足 $6k\pm 1$

有了这两个 公理 之后我们可以得到一个复杂度为 $O(\sqrt{n})$ ，rather than $O(n)$ 的算法。

/* tell whether a number is prime
* parameter 0 : a positive integer
* return value : if is prime return true else return false
*/
bool IsPrime(int nNum) {
	//eliminate some condition
	if (nNum <= 1)
		return false;
	if (nNum == 2 || nNum == 3)
		return true;
	// all the even number except 2 are not prime
	if (nNum % 2 == 0)
		return false;

	// check if it is 6k+1 or 6k-1
	if ((nNum + 1) % 6 != 0 && (nNum - 1) % 6 != 0)
		return false;

	int nSquare = sqrt(nNum);
	// retrive all the number from 3 to sqrt(n)
	for (int i = 3; i <= nSquare; i++) {
		if (nNum % i == 0)
			return false;
	}
	// attention the number less than 9 will return true directly, because loop start from 3
	return true;
}

2. 最大公约数（Greatest Common Division）

最大公约数的求法采用 辗转相除法，其算法如下：

/* calculate the greatest common division of a and b
* parameter 0 : a positive integer
* parameter 1 : another positive integer
* return value : the greatest common division
*/
int gcd(int a, int b) {
	// make the a > b
	if(b > a) {
		// exchange the value a and b
		a ^= b, b ^= a, a ^= b;
	}
	int nRemainder = a % b;
	while(nRemainder) {
		a = b;
		b = nRemainder;
		nRemainder = a % b;
	}
	return b;
}

3.所有因数

在 1. 质数 中介绍的理论可以在这里用上，即只需要遍历到 $\sqrt{\mathbf{n}}$ 就能够得到所有因数。

/* get all the factors of an integer
* parameter 0 : an integer
* return value : a vector save all factors of nNum
*/
vector<int> Factors(int nNum) {
	vector<int> vecRet;
	int nSqrt = sqrt(nNum);
	for (int i = 1; i <= nSqrt; i++) {
		if (nNum % i == 0) {
			vecRet.push_back(i);
			if(i != nNum / i)
				vecRet.push_back(nNum / i);
		}
	}
	sort(vecRet.begin(), vecRet.end());
	return vecRet;
}