《编程的本质》第五章-关于最大公约数的计算

最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的计算是很多问题中比较关键的一个步骤，所以如何快速的计算最大公约数比较关键。本文将《编程的本质》中第五章中最大公约数的问题稍微总结一下。

1. 暴力破解法。只是我们在无可奈何时的方法，但是请不要忽略它，可能在变量数少，维度低等条件下，它的运行效率也不会很低。而且，有时候我们需要一个Quick-Dirty的实现，在后续过程中慢慢更新即可。

2. 欧几里德算法。这个算法比较经典，基本每个讲解GCD的书中都会讲解这个知识。其主要利用如下两个性质：

• GCD(a, a) = a
• GCD(a, b) = GCD(a-b, b)
• GCD(a, b) = GCD(b, a)
  

while (a != b)
{
    if (a < b)
         b = b - a;
    else if ( a > b) 
         a = a - b;
}
return a;

3. Stein算法，Stein更新了传统的方法，其本质上是发现了一些规律使得GCD算法执行速度更快。

• GCD(2a, 2b) = 2GCD(a, b)
• GCD(2a, 2b+1) = GCD(a, 2b+1)
• GCD(2a+1, 2b) = GCD(2a+1, b)
  
• GCD(2a+1, 2b+1) = GCD(2b+1, a-b)

int factor = 1;
while (a != b)
{
    while (!(a & 0x1) || (b & 0x1))
    {
	// change to 2*GCD(a/2, b/2)
        a>>1;
	b>>1;
	factor<<1;
    }
    if (!(a & 0x1))
    {
	// change to GCD(a/2, b)
		a>>1;
	}
	else if (!(b & 0x1))
	{
	// change to GCD(a, b/2)
		b>>1;
	}
	else
	{
	// change to GCD (b, a - b)
		a ^= b;
		b ^= a;
		a ^= b;
		b = b - a;
	}
    if (a < b)
         b = b - a;
    else if ( a > b) 
         a = a - b;        
}
return a * factor;

在编写求最大公约数的时候，一般的算法都假设输入两个数是正数，对于负数需要做简单的处理即可，即将参数变化下重新调用基于正数的。

本文完。