codeforces 922 C Cave Painting

Description

Imp is watching a documentary about cave painting.

Some numbers, carved in chaotic order, immediately attracted his attention. Imp rapidly proposed a guess that they are the remainders of division of a number $n$ by all integers $i$ from $1$ to $k$. Unfortunately, there are too many integers to analyze for Imp.

Imp wants you to check whether all these remainders are distinct. Formally, he wants to check, if all , $1$ ≤ $i$ ≤ $k$ , are distinct, i. e. there is no such pair (i, j) that:

• $1$ ≤ $i$ ≤ $j$ ≤ $k$
• $n \mod i = n \mod j$ , where $x \mod y$ is the remainder of division $x$ by $y$ .

  Input

  The only line contains two integers n, k (1 ≤ n, k ≤ 10$^{18}$ ).

  Output

  Print “Yes”, if all the remainders are distinct, and “No” otherwise.

  You can print each letter in arbitrary case (lower or upper).

  Examples

  Input
  4 4
  Output
  No

  
  

  Input
  5 3
  Output
  Yes

  Note

  In the first sample remainders modulo 1 and 4 coincide.

  ---

  题意：输入n和k，判断n mod 1~k每个数的余数是不是都不相同
  思路：稍微用一下数学归纳法的思想，假设每个余数都不相同，因为$n \mod 1=0$ ，所以$n \mod 2=1$ (因为任何数对2取模只能取0或1，而0已经被占用了)，同理 $n \mod 3 =2$ $, ...,$ $n \mod k = k-1$ 。是不是很神奇？$k$ 可以取到10$^{18}$ ，而要同时满足这么多条件的数，应该是不存在的或者超级大吧。

  我不知道怎么严格地证明我的猜想，只能简单推理一下：满足 $n \mod 2 = 1$ 的数有 1, 3, 5, 7, 9, … 在此基础上满足 $n \mod 3 = 2$ 的数，就只有 5, 11, 17, …了，容易发现剩下的数仍然是等差数列，但公差扩大了3倍。同样的，在此基础上，再满足 $n \mod 4 = 3$ 的数就只有 11, 23, 35, …了。我觉得公差增长的这个速度都接近阶乘了，而且首项增长的也是飞快，所以要让$n$ 对 $1\sim k$ 取模的每个余数都满足条件，那$n$ 差不多至少应该是 $k!$ 级别的。反过来说，即使是10$^{18}$ ，它能满足的k也不可能很大（大概在20个左右）。

  总结一下就是，题目给的条件是一个很强的条件，只需要检查$n$ 对从1开始很少几个数取模的结果，就能确定$n$ 是不是符合要求的了。数学功底不是很扎实，有很多地方不够严谨，不要在意细节~

  #include <stdio.h>
  long long n, k;
  
  int main() {
      scanf("%I64d %I64d", &n, &k);
      bool flag = true;
      for (long long i = 1; i <= k&&flag; ++i) {
          if (n%i != i - 1)flag = false;
      }
      if (flag)printf("Yes");
      else printf("No");
  }