【动态规划】子序列问题（数组中不连续的一段）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fight_p/article/details/140708345

子序列问题

1.最长递增子序列
2.摆动序列
3.最长递增子序列的个数
4.最长数对链

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1.最长递增子序列

题目链接： 300. 最长递增子序列

题目分析：

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什么是子序列？

子序列可以是数组中不连续的部分也可以是连续的部分，但是选择的数必须和原数组保持相对顺序不变。

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度，严格递增就是一直往上，没有水平。

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算法原理：

1.状态表示

经验 + 题目要求

以 i 位置为结尾，巴拉巴拉
题目要求找到其中最长严格递增子序列的长度，首先以 i 位置元素为结尾要是子序列，子序列还要是严格递增，并且还是最长。因此

dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的长度

2.状态转移方程

dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的长度，可以先想一下，以 i 位置元素为结尾的所有子序列可以分几类：

一是，i 位置元素本身就是子序列
二是，i 位置元素跟在前面位置元素( 0 <= j <= i - 1)的后面构成子序列

因此状态转移方程可以分成两类情况讨论

长度为1，递增子序列的长度就是1

长度大于1，在 0 <= j <= i -1 区间，要的是严格递增的子序列，因此必须要满足 nums[j] < nums[i] 前提下，我们要的是最长递增子序列，那 j 位置本身要是一个最长递增子序列，而dp[j] 表示：以 j 位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的长度，在加上 i 位置就行了，注意 j 是变化的，我们要的是0 <= j <= i -1 区间内最长的递增子序列。因此我们要的是这个区间最大的 dp[j] +1

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3.初始化

表里面的所有值初始为1，正好长度为1的不用去管了。

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4.填表顺序

从左往右

5.返回值

dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有子序列中，最长递增子序列的长度。因此返回的是dp表中的最大值

class Solution {
   

public:


    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
   
        // 1.创建 dp 表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值

        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1);
        int ret = 1;
        for(int i = 1; i < n; ++i)
        {
   
            for(int j = i - 1; j >= 0; --j)
            {
   
                if(nums[j] < nums[i])
                {
   
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
                ret = max(ret, dp[i])