【PTA】列出连通集 (25 分)——无向无权图邻接矩阵存储

本文详细介绍了图遍历算法中的深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS),并通过具体的C++代码实现了这两种算法。针对无向无权图采用邻接矩阵存储方式,演示了如何遍历连通图及非连通图的所有节点。
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//因为要按编号递增顺序访问各邻接点,因此最好使用邻接矩阵存储
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

//无向无权图:邻接矩阵、结点数、边数
#define MAXN 15
int G[MAXN][MAXN],Nv,Ne;

//读入图
void BuildGraph(){
  cin>>Nv>>Ne;

  int v1,v2;
  for(int i=0;i<Ne;i++){
    cin>>v1>>v2;
    G[v1][v2]=1;
    G[v2][v1]=1;
  }

}

//DFS
int visited[MAXN];
void DFS(int v){
  visited[v]=1;
  cout<<" "<<v;
  for(int j=0;j<Nv;j++){
    if(G[v][j] == 1 && visited[j] == 0){
      DFS(j);
    }
  }
}


//BFS
void BFS(int v){
  queue<int> q;
  q.push(v);
  visited[v]=1;
  int tmp;
  while(!q.empty()){
    tmp=q.front();
    cout<<" "<<tmp;
    q.pop();
    for(int i=0;i<Nv;i++){
      if(G[tmp][i] == 1 && visited[i] == 0){
        q.push(i);
        visited[i]=1;
      }
    }
  }

}

//因为不是连通图所以需要遍历结点,访问各结点的所有邻接点,从而遍历全图

//所有组DFS输出
void ListComponents_DFS(){
  for(int i=0;i<Nv;i++){
  if(!visited[i]){
    cout<<"{";
    DFS(i);
    cout<<" }\n";
  }
  }
}

//所有组BFS输出
void ListComponents_BFS(){
  for(int i=0;i<Nv;i++){
  if(!visited[i]){
    cout<<"{";
    BFS(i);
    cout<<" }\n";
  }
  }
}

int main(){
  BuildGraph();
  ListComponents_DFS();

//visited数组归零
  fill(visited,visited+Nv,0);

  ListComponents_BFS();

  return 0;
}

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### 关于PTA平台上的连通集实现 #### 一、连通集的概念及其意义 在一个无向图中,如果任意两个顶点之间都存在一条路径相连,则称这个图为连通图。而连通量是指一个非连通图中的极大连通子图[^1]。 为了在程序设计竞赛或者实际开发中解决连通性问题,通常会采用并查集(Union-Find Set)、深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)来查找和处理这些连通量。 --- #### 二、数据结构的选择与定义 针对连通集的实现,常见的两种方式如下: ##### 1. 并查集(Disjoint Set Union, DSU) 并查集是一种用于管理集合的数据结构,支持快速查询某个元素属于哪个集合以及合并两个集合的功能。其核心操作包括 `find` 和 `union`。 ###### 定义: ```c++ class DisjointSet { private: vector<int> parent; public: DisjointSet(int size) : parent(size) { for (int i = 0; i < size; ++i) { parent[i] = i; } } int find_set(int x) { // 路径压缩优化 if (parent[x] != x) { parent[x] = find_set(parent[x]); } return parent[x]; } void union_set(int x, int y) { // 按秩合并优化省略 int fx = find_set(x); int fy = find_set(y); if (fx != fy) { parent[fy] = fx; } } }; ``` 通过上述代码,我们可以高效地维护一组不相交的集合,并能迅速判断两节点是否在同一连通集中[^2]。 --- ##### 2. 使用邻接表/邻接矩阵配合 DFS 或 BFS 另一种方法是利用图的存储形式——邻接表或邻接矩阵,结合深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS),逐一访问未被标记过的节点,从而找到所有的连通量。 ###### 邻接表定义: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 创建邻接表 void add_edge(vector<vector<int>>& adj_list, int u, int v) { adj_list[u].push_back(v); adj_list[v].push_back(u); // 如果是有向图则去掉这一句 } ``` ###### DFS 实现: ```cpp void dfs(const vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, int node) { visited[node] = true; for (const auto& neighbor : graph[node]) { if (!visited[neighbor]) { dfs(graph, visited, neighbor); } } } int count_connected_components_dfs(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { dfs(graph, visited, i); components++; } } return components; } ``` ###### BFS 实现: ```cpp #include <queue> int bfs_count_connected_components(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); queue<int> q; int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { q.push(i); visited[i] = true; while (!q.empty()) { int current_node = q.front(); q.pop(); for (auto& neighbor : graph[current_node]) { if (!visited[neighbor]) { visited[neighbor] = true; q.push(neighbor); } } } components++; } } return components; } ``` 以上代码展示了如何基于邻接表使用 DFS/BFS 来统计连通量的数量[^3]。 --- #### 三、具体应用场景析 当面对大规模稀疏图时,推荐使用 **邻接表+DFS/BFS** 方法;而对于稠密图或需要频繁执行连接性和断开操作的情况,应考虑使用 **并查集** 结构[^4]。 --- ### 性能对比总结表格 | 特性 | 并查集 | DFS / BFS | |-------------------|----------------------------|---------------------------| | 时间复杂度 | O(α(N)) | O(V+E),其中 α 是反阿克曼函数 | | 空间复杂度 | 较低 | 取决于递归栈深或队列大小 | | 是否适合动态更新 | 支持动态添加边 | 不易扩展至动态场景 | --- #### 四、注意事项 - 输入验证:确保输入的颜色种类不超过指定范围,可以通过 `std::set` 判断是否存在非法颜色。 - 存储效率:对于大型图,建议使用动态配内存的方式创建邻接表而非固定长度的大数组,以防止堆栈溢出。 ---
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