最大似然估计与最大后验估计总结

TLDR (or the take away)

• 频率学派 - Frequentist - Maximum Likelihood Estimation (MLE，最大似然估计)
• 贝叶斯学派 - Bayesian - Maximum A Posteriori (MAP，最大后验估计)

两大学派的争论

抽象一点来讲，频率学派和贝叶斯学派对世界的认知有本质不同：频率学派认为世界是确定的，有一个本体，这个本体的真值是不变的，我们的目标就是要找到这个真值或真值所在的范围；而贝叶斯学派认为世界是不确定的，人们对世界先有一个预判，而后通过观测数据对这个预判做调整，我们的目标是要找到最优的描述这个世界的概率分布。

在对事物建模时，用 $\theta$ 表示模型的参数，请注意，解决问题的本质就是求 $\theta$ 。那么：

• 频率学派：存在唯一真值 $\theta$ 。举一个简单直观的例子–抛硬币，我们用 $P(head)$ 来表示硬币的bias。抛一枚硬币100次，有20次正面朝上，要估计抛硬币正面朝上的bias $P(head)$ 。在频率学派来看，$\theta$ = 20 / 100 = 0.2，很直观。当数据量趋于无穷时，这种方法能给出精准的估计；然而缺乏数据时则可能产生严重的偏差。例如，对于一枚均匀硬币，即 $\theta$ = 0.5，抛掷5次，出现5次正面 (这种情况出现的概率是1/2^5=3.125%)，频率学派会直接估计这枚硬币 $\theta$ = 1，出现严重错误。
• 贝叶斯学派： $\theta$ 是一个随机变量，符合一定的概率分布。在贝叶斯学派里有两大输入和一大输出，输入是先验 (prior)和似然 (likelihood)，输出是后验 (posterior)。先验，即 $P(\theta )$，指的是在没有观测到任何数据时对 $\theta$ 的预先判断，例如给我一个硬币，一种可行的先验是认为这个硬币有很大的概率是均匀的，有较小的概率是是不均匀的；似然，即$P(X|\theta )$ ，是假设 $\theta$ 已知后我们观察到的数据应该是什么样子的；后验，即 $P(\theta |X)$ ，是最终的参数分布。贝叶斯估计的基础是贝叶斯公式，如下：
  $P(\theta |X)=\frac{P(X|\theta )P(\theta )}{P(X)}$
  同样是抛硬币的例子，对一枚均匀硬币抛5次得到5次正面，如果先验认为大概率下这个硬币是均匀的 (例如最大值取在0.5处的Beta分布)，那么 $P(head)$ ，即 $P(\theta |X)$，是一个distribution，最大值会介于0.5~1之间，而不是武断的$\theta$= 1。

问题引入

已知一组数据集D={x1,x2,...,xn}D=\{x_1,x_2,...,x_n\}D={x1​,x2​,...,xn​}是独立地从概率分布$P(x)$上采样生成的，且 $P(x)$具有确定的形式（如高斯分布，二项分布等）但参数$\theta$未知。

问题：如何根据数据集$D$ 估计参数$\theta$ ?

为了解决上述问题，统计学界存在两种不同的解决方案：

• 频率学派：参数$\theta$是一个客观存在的固定值，其可以通过找到使数据集 $D$ 出现可能性最大的值，对参数 $\theta$进行估计，此便是极大似然估计的核心思想。
• 贝叶斯学派：参数 $\theta$是一个随机变量，服从一个概率分布（换句话讲，$\theta$不是一个客观存在的固定值，而是可以取很多不同值的变量，且具有相应的可能性），其首先根据主观的经验假定$\theta$的概率分布为 $P(\theta )$（先验分布，往往并不准确），然后根据观察到的新信息（数据集 $D$）对其进行修正，此时$\theta$的概率分布为 $P(\theta |D)$（后验分布）。

最大似然估计

核心思想：找到使数据集 $D$出现可能性最大的值，对参数 $\theta$进行估计，即$\hat{\theta }=argma{x}_{\theta }P(D|\theta )$。

最大后验估计

原则上，贝叶斯学派对 $\theta$的估计应该就是$\theta$的后验分布$P(\theta |D)$，但是大多数时候后验分布的计算较为棘手，因此此时出现一种折衷解法：找到使后验概率最大的值，对参数 $P(\theta )$进行估计，即

根据上式可以发现，最大后验估计与最大似然估计优化过程中的差异便是多了一项$\log p\left(x\right)$ ，相当于加了一项与 $\theta$的先验概率 $P(\theta )$ 有关的惩罚项。