Voronoi图（三）：构造Voronoi图

fengkeyleaf

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分类专栏：计算几何算法文章标签：计算几何算法 Voronoi图

于 2022-03-26 23:15:24 首次发布

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探讨平面扫描策略在Voronoi图构造中的困境，并引入Fortune算法，通过以曲代直的方法巧妙规避回退困境，实现Voronoi图的优雅构造。

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1. 平面扫描策略的困境

对于Voronoi的构造，我们究竟使用什么策略比较合适呢？针对这个问题，大家可以结合之前我们讲解的算法策略来分析一下呢。如果你之前看过笔者所著的其他计算几何算法详解，你应该对下面这些算法策略感到无比亲切：

平面扫描策略（Plane Sweep），比如几何求交，三角拆分；
随机增量策略（Randomized Incremental Algorithm），比如点定位；

其中，平面扫描策略是我们介绍最多的算法，那么我们是否能应用平面扫描策略来解决Voronoi图的构造问题，以达到简化问题的目的呢？为了回答这个问题，我们先来看看之前平面扫描策略的一个比较重要的特性：

扫描线将平面分割成两个部分：1）固定部分；2）待处理部分；也就是说，待处理部分不会对已固定部分产生任何的影响。

这是什么意思呢？以之前三角拆分中的单调多边形拆分为例，只要是水平扫描线扫过的部分，单调多边形的拆分已经完全固定，即使扫描到后面的顶点也不会对其产生任何的变化，比如下面这个例子：

在这里插入图片描述

大家可以看到，只要是水平扫描线扫过并处理过的部分，就会被固定下来，之后不会再有任何变化。比如扫描线扫到顶点0，这意味着上面的多边形部分的拆分已经全部完全，不会再改变，即使我们继续向下扫描。比方说接下来扫描顶点13，它不会对上图中的灰色固定区域有任何的影响。这个性质非常的重要，因为它保证了算法的简洁性，也就是保证了算法不会有回退的情况。大家可以想象一下，如果需要回退到之前已经处理过的顶点，单调多边形拆分的算法逻辑将会有多复杂，这无疑是一个灾难。

但当用平面扫描策略构造Voronoi图时，还能继续维持这个特性么？在回答这个问题之前，我们先来看看上一节的Voronoi图示例：

在这里插入图片描述

这个例子很明确的告诉我们，如果还沿用之前的策略，无疑需要对算法状态进行回退，从而使算法逻辑异常复杂。现在原先的平面扫描策略遇到不小的困境。这也是为什么Voronoi构造的平面扫描算法的发现时间，相对其他算法较晚的原因，比如分治，原因也很简单，只要有人想要用平面扫描策略构造Voronoi图就会遇到“回退困境”。

那这是否意味着平面扫描策略对于构造Voronoi图来说，是个死胡同呢？很幸运地是，基于Fortune的平面扫描策略很好地规避了“回退困境（Trackback dilemma）”，使平面扫描策略也能在构造Voronoi图上大显身手，而且大家后续也能看到这个比较特殊得平面扫描策略非常的优雅，为什么这么说呢？如果说之前的算法都是把几何图形计算出来，那么基于Fortune的平面扫描算法是将Voronoi图”描绘“出来的，如同画家的画笔一样，一笔一笔地将Voronoi图勾勒出来。接下来，我们就来看看这个神奇的算法吧！

2. 另一个Voronoi图

为了规避”回退困境“，Fortune的策略是将原来的Voronoi图转换成另一种等价的拓扑结构。这个结构中，原本由直线组成的Voronoi Edge将会变成曲线。下图展示了由曲线组成的Voronoi图¹：

在这里插入图片描述

通过这种”以曲代直“的方法，我们就能有效避免”回退困境“，但是在实际计算中，我们不会去真正计算经过变换后的Voronoi图，而是通过抛物线来”描绘“出Voronoi Edge和Vertex，是不是觉得非常神奇？我特地从邓老师的教学视频中，截取了一个Forutne算法的演示动画¹，大家可以看看这个示例，从感官上体会一下抛物线的作用，以及整个算法大致的思路，最重要的是去感受一下这个算法的神奇之处，也是我们之前提到的：