JavaSE-9-复杂度

1. 算法效率

算法效率分析分为两种：

• 时间效率：时间效率被称为时间复杂度，主要衡量的是一个算法的运行速度。
• 空间效率：空间效率被称作空间复杂度，主要衡量一个算法所需要的额外空间。

2. 时间复杂度

2.1 概念

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.2 大O的渐进表示法

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < N ; i++) {
       for (int j = 0; j < N ; j++) {
           count++;
       }
   }//两个for循环的嵌套，执行了N^2 次
   for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
       count++;
   }//执行了2N次
   int M = 10;
   while ((M--) > 0) {
       count++;
   }//执行了10次
   System.out.println(count);
}

则以上代码执行的基本操作次数为：$F(N)=N²+2N+10$
实际中我们计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

• 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界).
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数.
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界).

所以使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：$O(N²）$
大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

2.3常见时间复杂度计算举例

示例1：

void func2(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
       count++;
    }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
       count++;
    }
    System.out.println(count);
}

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为$O(N)$

示例2：

void func3(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
       count++;
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
       count++;
    }
    System.out.println(count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 $O(N+M)$

示例3：

void func4(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
       count++;
    }
    System.out.println(count);
}

基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 $O(1)$
示例4： 冒泡排序

void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i -1] > array[i]) {
            Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1))/2次，通过推导大O阶方法时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 $O(N²)$
示例5： 二分查找法

int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1;
}

二分查找法的时间复杂度我们无法用肉眼直接看出来，需要找出规律，进行推理。我们假设每一种数据的情况都找最坏的情况，设：数据个数为n，需要找的次数为x，则：

数据个数 n	找的次数 x
2	2
4	3
8	4
…	…

由上面的数据我们可以找出规律，找的次数 x 和数据个数 n 之间的关系为n=2^(x-1)，即找的次数为：$x={\log }_2\left(n\right)+1$，所以二分法查找的时间复杂度为：$O({\log }_2\left(n\right))$
示例6： 递归阶乘

long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

基本操作递归了N次，时间复杂度为$O(N)$。
示例7： 递归求斐波那契数列

int fibonacci(int N) {
    return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

递归求斐波那契数列的步骤可以看做是一个二叉树：

则递归的次数为：1+2+4+8+…+2^(N-1) = 2 ^N
所以斐波那契数列的时间复杂度为：$O(2^N)$
补充： 判断一个数字是不是 2 的 k 次方。
思路：写一个循环，判断二进制 1 的个数。

3. 空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。 空间复杂度算的是变量的个数，也使用大O渐进表示法。
示例1： 冒泡排序

void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
         boolean sorted = true;
         for (int i = 1; i < end; i++) {
             if (array[i - 1] > array[i]) {
                 Swap(array, i - 1, i);
                 sorted = false;
             }
         }
         if (sorted == true) {
             break;
         }
     }
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 $O(1)$
示例2： 斐波那契数列

int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
return fibArray;
}

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 $O(N)$
示例2： 递归求阶乘

long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为$O(N)$

总结

时间复杂度和空间复杂度，是描述算法效率的一个量，需要了解他们各自的定义，按照定义去得出他们各自的结果，有的可以直接看出来，有的则需要根据一定的规律去计算，需要大量的练习才能很准确的得出想要的结果。