树与二叉树

  树的概念
1.树的定义
树（Tree）是 n（n≥0）个有限数据元素的集合。当 n＝0 时，称这棵树为空树。在一棵非
树 T 中：
（1）有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点；
（2）若 n>1，除根结点之外的其余数据元素被分成 m（m>0）个互不相交的集合 T 1 ，T 2 ，…，
T m ，其中每一个集合 T i （1≤i≤m）本身又是一棵树。树 T 1 ，T 2 ，…，T m 称为这个根结点的子
树。
2．相关术语
（1）结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。
（2）叶结点：度为 0 的结点称为叶结点，或者称为终端结点。
（3）分支结点：度不为 0 的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。一棵树的结点除
叶结点外，其余的都是分支结点。
（4）孩子、双亲、兄弟：树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点
称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
（5）路径、路径长度：如果一棵树的一串结点 n 1 ,n 2 ,…,n k 有如下关系：结点 n i 是 n i+1 的
父结点（1≤i<k）,就把 n 1 ,n 2 ,…,n k 称为一条由 n 1 至 n k 的路径。这条路径的长度是 k-1。
（6）祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点 M 到结点 N，那么 M 就称为 N 的祖
先，而 N 称为 M 的子孙。
（7）结点的层数：树的根结点的层数为 1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加
1。
（8）树的深度：树中所有结点的最大层数称为树的深度。
（9）树的度：树中各结点度的最大值称为该树的度。
（10）有序树和无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，即若交换了
某结点各子树的相对位置，则构成不同的树，称这棵树为有序树；反之，则称为无序树。
（11）森林：零棵或有限棵不相交的树的集合称为森林。自然界中树和森林是不同的概
念，但在数据结构中，树和森林只有很小的差别。任何一棵树，删去根结点就变成了森林。
2  二叉树
2.1  定义与性质
1.二叉树
二叉树（Binary Tree）是 n 个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根(root)
的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时，称该二
叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点。
二叉树是有序的，即若将其左、右子树颠倒，就成为另一棵不同的二叉树。即使树中结
点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
2.满二叉树与完全二叉树
（1）满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同
一层上，这样的一棵二叉树称作满二叉树。
（2）完全二叉树
一棵深度为 k 的有 n 个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行
编号，如果编号为 i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置相同，则
这棵二叉树称为完全二叉树。完全二叉树的特点是：叶子结点只能出现在最下层和次下层，
且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全
二叉树未必是满二叉树。
3.二叉树的性质
性质 1 一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2 i-1 个结点（i≥1）。（证明略）
性质 2 一棵深度为 k 的二叉树中，最多具有 2 k －1 个结点。
证明：设第 i 层的结点数为 x i （1≤i≤k），深度为 k 的二叉树的结点数为 M，x i 最多为 2 i-1 ，
则有：
M＝ x i ≤ 2 i-1  ＝2 k -1
性质 3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为 n 0 ，度数为 2 的结点数为 n 2 ，则有:
n 0 ＝n 2 ＋1。
证明：设 n 为二叉树的结点总数，n 1 为二叉树中度为 1 的结点数，则有：
n＝n 0 ＋n 1 ＋n 2 （式 1-3-1）
在二叉树中，除根结点外，其余结点都有唯一的一个进入分支。设 B 为二叉树中的分
支数，那么有：
B＝n－1 （式 1-3-2）
这些分支是由度为 1 和度为 2 的结点发出的，一个度为 1 的结点发出一个分支，一个
度为 2 的结点发出两个分支，所以有：
B＝n 1 ＋2n 2 （式 1-3-3）
综合（式 1-3-1）、（式 1-3-2）、（式 1-3-3）式可以得到：
n 0 ＝n 2 ＋1
性质 4 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为log2(n)+1下界或log2(n+1)上界
证明：根据完全二叉树的定义和性质 2 可知，当一棵完全二叉树的深度为 k、结点个数
为 n 时，有
2 ^(k- 1) －1<n≤2 ^k -1
对不等式取对数，有
k－1≤log 2 n<k

 k 是整数，所以有 k＝log2(n)+1下界

性质 5 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从 1 开始顺序编号，则对于任意的序号为 i 的结点，有：

（1）如果 i>1，则序号为 i 的结点的双亲结点的序号为 i/2 ；如果 i＝1，则序号为 i 的
结点是根结点，无双亲结点。
（2）如果 2i≤n，则序号为 i 的结点的左孩子结点的序号为 2i；如果 2i>n，则序号为 i 的
结点无左孩子。
（3）如果 2i＋1≤n，则序号为 i 的结点的右孩子结点的序号为 2i＋1；如果 2i＋1>n，则
序号为 i 的结点无右孩子。
此外，若对二叉树的根结点从 0 开始编号，则相应的 i 号结点的双亲结点的编号（i-1）/2，左孩子的编号为 2i＋1，右孩子的编号为 2i＋2。
此性质可采用数学归纳法证明。