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CSP-S 2022 游记&题解

2022/11/1 号爸模拟题解

分析图中矩阵被分为了 nnn 层，不难看出：同一层中任意两个位置之间的最短路都是它们的曼哈顿距离 (∣x1−x2∣+∣y1−y2∣|x_1-x_2|+|y_1-y_2|∣x1​−x2​∣+∣y1​−y2​∣)。这个距离一定是最优的。也就是说要去同一层中另一个位置，绕到别的层肯定不会更优。我们假设每次都是从较低的层走到较高的层，每次移动最多只能向上一层，结合上面结论，我们可以得出:每一次移动一定是在当前层中移动或向上一层，不可能向下走。nnn 是 10510^5105 级别的，肯定不能将图中

可以考虑区间 dpdpl,rdp_{l,r}dpl,r​ 表示闭区间 [l,r][l,r][l,r] 内的区间数。根据容斥得出递推式dpl,r=dpl+1,r+dpl,r−1−dpl+1,r−1dp_{l,r}=dp_{l+1,r}+dp_{l,r-1}-dp_{l+1,r-1}dpl,r​=dpl+1,r​+dpl,r−1​−dpl+1,r−1​初始时记录在 dp 数组上记录以下所有区间，然后按 r−lr-lr−l 从小到大逐层转移。每次询问直接输出 dpl,rdp_{l,r}dpl,r​

codeforces 传送门 & 洛谷传送门Description有一个长度为 nnn 的整数序列，每次操作可以把一个元素修改为任意整数。求最少要几次操作，使得序列能满足：删除一个元素后是严格单调增的。2≤n≤2×1052\le n\le 2\times 10^52≤n≤2×1051≤ai≤1091\le a_i\le 10^91≤ai​≤109Solution要求最小修改次数，我们不妨考虑求最大保留元素个数。这样其实类似于求最长上升子序列，但是因为要求严格单增且必须是整数，所

这是树形 dp 中的换根 dp。atcoder 题目传送门 & 洛谷题目传送门Description有一个 nnn 个节点的树，对一些节点染色，使得所有被染色的节点是一个连通块。求对于 1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n 每个节点，该节点被染色的方案个数。所有答案对 MMM 取模。1≤n≤1051\le n\le 10^51≤n≤1052≤M≤1092\le M\le 10^92≤M≤109Solution换根 dp，我们需要考虑两个 dp 状态：

这是一道比较典型的 dp 结合组合数的题目。atcoder 题目传送门 & 洛谷题目传送门Description有一个 H×WH\times WH×W 的网格，有 nnn 个障碍物，坐标分别为 (ri,ci)(r_i,c_i)(ri​,ci​)。求从 (1,1)(1,1)(1,1) 走到 (n,m)(n,m)(n,m)，不经过障碍物的方案数。答案对 109+710^9+7109+7 取模。2≤H,W≤1052\le H,W\le 10^52≤H,W≤1051≤n≤30001\le

数据范围知状压 dp 系列。atcoder 题目传送门 & 洛谷题目传送门更好的阅读体验Description有 nnn 个兔子，要将它们分成若干组，对于每一对 1≤i,j≤n1\le i,j\le n1≤i,j≤n，如果兔子 iii 和兔子 jjj 在同一组，会获得 ai,ja_{i,j}ai,j​ 的分值，求能获得的最大总分值。1≤n≤161\le n\le 161≤n≤16∣ai,j∣≤109\left\vert a_{i,j}\right\vert\le 10^9∣ai,j​

一道需要一定分析的 dp 题目。atcoder 题目传送门 & 洛谷题目传送门更好的阅读体验Description给定 nnn 和一个长度为 n−1n-1n−1 的字符串（由 ‘<’ 和 ‘>’ 组成），求数列 1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n 有多少种排列，使得相邻数之间的大小关系与字符串中大于号小于号相符合，答案对 109+710^9+7109+7 取模。1≤n≤30001\le n\le 30001≤n≤3000Solution1anal

呦呦呦，这不是 LIS 最长上升子序列吗，几日不见，数据范围这么大了。atcoder 题目传送门。题意有 nnn 朵顺序排列的花，每朵花有高度 hih_ihi​ 和价值 aia_iai​，高度两两不同。选取一些花使得这些花的高度依次递增，求选取花最大的总价值1≤n≤2×1051\le n\le 2\times 10^51≤n≤2×1051≤hi≤n1\le h_i\le n1≤hi​≤n 且 hi≠hj,∀i≠jh_i\ne h_j,\forall i\ne jhi​​=hj​,∀i​

atcoder 题目传送门，经典的 dp + 前缀和优化。更好的阅读体验。题意有 nnn 个不同的小朋友和 kkk 个相同的糖，给每个小朋友分配若干个糖且糖要分配完，每个小朋友分配糖的上限个数为 aia_iai​，求分配方案总数。1≤n≤1001\le n\le 1001≤n≤1001≤k≤1051\le k\le 10^51≤k≤1051≤ai≤k1\le a_i\le k1≤ai​≤k思路朴素的 dp 状态：dp(i,j)dp(i,j)dp(i,j) 表示考虑到第

这是一道很好的期望 dp 题。atcoder 题目传送门更好的阅读体验。题意有 nnn 个盘子，每个盘子有 aia_iai​ 个寿司，每次等概率选择一个盘子吃掉其中一个寿司，选到空盘子不变化，求吃完所有寿司的期望步数。1≤n≤3001\le n\le 3001≤n≤3001≤ai≤31\le a_i\le 31≤ai​≤3分析有同学可能没有做过期望 dp ，这道题能很好地诠释所谓 “期望步数” 的意义，加深你的理解。所谓期望值是概率与其对应答案值的积的总和。有了这个公式我们可