分治法的基本思想

       分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同，递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。它的一般算法设计模式如下：

                  

divide-and-conquer(P)
{
         if(|P|<=n0)adhoc(P);
        divide P into smaller subinstances P1,P2,...Pk;
         for(i=1,i<=k,i++)
             yi=divide-and-conquer(Pi);
         return merge(y1,...yk);
}

 其中，|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易解出，不必再继续分解。adhoc(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P.当P的规模不超过n0时，直接用算法adhoc(P)求解。算法merge(y1,y2,...yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1,P2,...,Pk的解y1,y2,...,yk合并为P的解.

       根据分执法的分割原则，应把原问题分为多少个子问题才比较适宜？每个子问题是否规模相同或怎样才为适当？这些问题很难给予肯定的回答，但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同，即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效地，或许问题可以取k=2，这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

       从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的算法一般是递归算法，因此分治法的计算效率通常可以用递归方程式进行分析。一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。为方便起见，设分解阈值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间.另外，再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需要用f(n)个单位时间，如果用T(n)表示该分治法divide-and-conquer(P)解规模为  |P|=n的问题所需的计算时间则有

                                                  O(1)                    n=1

                                      T(n)=   kT(n/m)+f(n)        n>1