欧几里得 推 扩展欧几里得

前言

本文讨论如何求下面方程的解(a,b已知)：
$$ax+by=1(x,y\in Z)$$

首先，方程有没有可能无解？
例如当 $a=2,b=4$ 时，显然方程是无解的。

方程何时有解？

方程有解的充分必要条件是 $gcd(a,b)=1$，即 $a,b$ 互质。

简单证明如下：
我们不妨考虑 $a,b$ 为正整数的情况，令 $gcd(a,b)=g$，则 $a=k_{1}g,b=k_{2}g(k1,k2\in N)$，则 $ax+by=k_{1}g\ast x+k_{2}g\ast y$。显然结果必是 g 的倍数，那么，当且仅当 g 为 1 时，原方程可能有解。

下面证明 $gcd(a,b)=1$ 时，方程必有解。
因 $gcd(a,b)=1$，则说明 $a,b$ 不断辗转相减一定会等于 1。而两数辗转相减的结果是可以表达成 $a\ast t_1+b\ast t_2$ 的，所以 $(t_1,t_2)$ 即是原方程的解。

结论

1. 当 $gcd(a,b)=1$ 时，方程 $ax+by=1$，一定存在整数解 $(x,y)$。
2. 扩展的可知，$ax+by=gcd(a,b)$ 也一定存在整数解 $(x,y)$

由此我们引出扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

接下来，我们看一下如何求下面方程的整数解 (x,y) 之一.

$$ax+by=gcd(a,b)\text{\hspace{1em}(1)}$$

对于 $(1)$ 式,当 $b=0$ 时, $ax+by=gcd(a,b)=a$,显然 $(x=1,y=0)$ 是方程的一个解.

当 $b$ 不为 $0$ 时，根据欧几里得定理 $gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$ 可得
$$\begin{array}{rl}gcd(a,b)& =gcd(b,a\mathrm{mod}b)\\ \Rightarrow ax+by=gcd(a,b)& =gcd(b,a\mathrm{mod}b)=b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }\\ \Rightarrow ax+by& =b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=b{x}^{\prime }+(a-b\ast \lfloor a/b\rfloor )y^{\prime }\\ \text{移项得}ax+by& =a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor y^{\prime })\end{array}$$

$$\text{根据恒等定理,有}\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor y^{\prime }\end{array}$$

这有什么用呢? x′ 和 y′ 还是不知道呀.
重新来看看我们得到的两个等式。x 和 y 是 $gcd(a,b)=ax+by$ 的解，而 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 是在对 gcd(a,b) 按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式 $gcd(b,amodb)=bx\prime +(amodb)y\prime$ 的解.也就是说,gcd(a,b)对应的贝祖等式的解 x,y 可以由gcd(b,a mod b) 对应等式的解 $x^{\prime },y^{\prime }$ 计算得出.

说的通俗点,由于欧几里德算法最后一步为 $gcd(a,0)=a$
此时对应的等式的解为 $x=1,y=0$，因此只需从最后一层 $1a+0b=gcd(a,0)=a$ 向上一层递推求解.
即在进行欧几里德算法的递归的时候根据相邻两次调用间 x,y 和 x’,y’ 的关系计算即可求出 ax+by=gcd(a,b) 的解.
请结合代码理解

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1;y=0;      //边界解,1a+0b=gcd(a,0)=a 
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);   //求下一层的解(x',y')
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;    //根据下一层的解(x',y'),求出本层的解(x,y)
    return r;
}

解的范围

递归算到最后 y 其实可以取任意整数。但是取的太大容易导致使得最后算出来的解爆 int 之类的事情
下面我们来看一下最终算出来的解 x,y 的绝对值大小情况
由 x y 的计算方法 x -= (a / b) * y 可以知道，x y 始终是在 $\max (|a|,|b|)$ 的绝对值范围内的，因此 $a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$ 最后算出的 x y 的绝对值大小跟 a b 是同一个级别的，不用担心爆。

如何得到所有解?

实际上，在之前的计算中，我们得到的只是不定方程的一组解，方程难道只有一组解吗？
显然，若 $ax+by=gcd(a,b)$，则 $a(x+b)+b(y-a)=gcd(a,b)$ 也成立，所以解有无数个。

那么怎样得到所有解呢?
对于一般形式 $ax+by=g$ 有通解 $(x,y)$ ,则 $x^{\prime }=x+b/g,y^{\prime }=y-a/g$ .(证明略,只要代入一下就知道为什么通解是这个了)

更进一步,对于任意不定式 ax′+by′=c,只需要在等式 ax+by=gcd(a,b)=d 两边乘上c/d即可得到解为x′=x∗c/d,y′=y∗c/d