Java数据结构之二叉树

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文章目录

一、树形结构
二、二叉树（重点）

一、树形结构

（一）树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n >= 0）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合，之所以称之为树，就是因为它像一棵倒挂着的树，即跟朝上，叶朝下，，它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M（M > 0）个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti（1 <= i <= m）又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的

树的结构

注意：

树形结构中，子树之间不能有交集
除了根节点外，每个节点有且只有一个父节点
一棵N个节点的树有N - 1条边

（二）树中的众多基本概念

重要概念

节点的度：一个节点含有子树的个数称为该节点的度；
树的度：一棵树中，所有节点度的最大值称为树的度；
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
根节点：一棵树中，没有双亲节点的节点；
节点的层次：从根节点开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次；

只需了解的概念

非终端节点或分支节点：度不为0的结点；
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
堂兄弟节点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

（三）树的表示形式（了解）

树的结构相比较线性表会复杂一些，且并不是只有一种表示方法。比如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等，我们只简单介绍其中最常用的孩子兄弟表示法

//节点的形式
class Node {
        int val;
        Node firstChild;
        Node nextBrother;
    }

树可以应用于文件系统管理等结构

二、二叉树（重点）

（一）概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树结构

需要知道的是：

二叉树不存在度大于 2 的节点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

（二）两种特殊的二叉树

1.满二叉树

满二叉树：一棵每层的节点都达到了最大值的二叉树，换言之，如果一棵树的层次为K,且节点总数为2 ^ k - 1，则它就是满二叉树

2.完全二叉树

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是从满二叉树中引出来的，对于深度为K的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n - 1的节点一一对应时称之为完全二叉树，由此可知，满二叉树是一种特殊的完全二叉树

满二叉树和完全二叉树

（三）二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层最多有2 ^ (i - 1)(i > 0)个节点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是x ^ k - 1 (k>=0)
对任何一棵二叉树,如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log(n + 1)上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
的结点有:

若i > 0，双亲序号为：(i - 1) /2;i == 0,i为根节点编号，无双亲节点
若2 * i + 1 < n，左孩子序号为: 2 * i + 1，否则无左孩子
若2 * i + 2 < n，右孩子序号为：2 * i + 2，否则无右孩子

（四）二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
顺序存储我们主要是在优先级队列（堆）应用
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left; //左孩子的引用
    TreeNode right; //右孩子的引用
}

//孩子双亲表示法
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left; //左孩子的引用
    TreeNode right; //右孩子的引用
    TreeNode prent; //当前节点的根节点的引用
}

孩子双亲表示法在平衡树的地方应用较多，而一般情况下都是使用孩子表示法来构建二叉树

（五）二叉树的基本操作

1.说明

二叉树的创建很简单，但是难就难在操作上，我们为了简便，先自己手动创建一个简陋的二叉树的结构，着重介绍二叉树的操作，先创建一棵二叉树

public class MyBinaryTree {

    public static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;//左孩子的引用
        public TreeNode right;//右孩子的引用

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public static int nodeSize;


    /**
     * 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点
     *
     * @return
     */
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode root = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        root.left = B;
        root.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return root;
    }
}

这棵二叉树的图形就是这样的：

构造的二叉树

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式
我们有前面的概念可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照递归实现的

2.二叉树的遍历

（1）前中后序遍历

遍历是最简单，也是最快理解二叉树的结构的操作。遍历（Traversal）就是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个节点均做一次且仅做一次的访问。访问节点所做的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印节点内容、节点内容 + 1）。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树进行其他运算的基础

关于二叉树的遍历，我们做出了约定。根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历（Preorder Traversal 也叫先序遍历）——访问根节点-> 根的左子树 -> 根的右子树
LNR：中序遍历（Inorder Traversal）——根的左子树-> 根节点 -> 根的右子树
LRN：后序遍历（Postorder Traversal）——根的左子树-> 根的右子树 -> 根节点

代码示例：

// 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    // 中序遍历
    void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.right);
    }

    // 后序遍历
    void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

我们通过画图来理解先序遍历，中序和后序类似

先序遍历

先序遍历结果：A B D E C F G
中序遍历结果：D B E A F C G
后序遍历结果：D E B F G C A

（2）层序遍历

层序遍历：除了先序，中序，后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。顾名思义，就是自上而下，从左到右逐层对二叉树的节点进行访问

层序遍历

代码示例：

//需要借助一个队列
void levelOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.offer(root);
    while(!queue.isEmpty()) {
        TreeNode cur = queue.poll();
        System.out.print(cur.val + " ");
        if(cur.left != null) {
            queue.offer(cur.left);
        }
        if(cur.right != null) {
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}

3.二叉树的基本操作

/**
 * 获取树中节点的个数：遍历思路
 */
void size(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    nodeSize++;
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/**
 * 获取节点的个数：子问题的思路
 *
 * @param root
 * @return
 */
int size2(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
}


/**
 *获取叶子节点的个数：遍历思路
 */
public static int leafSize = 0;

void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    if(root.left == null && root.right == null) {
        nodeSize++;
    }
    getLeafNodeCount1(root.left);
    getLeafNodeCount1(root.right);
}

/*
 获取叶子节点的个数：子问题
 */
int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    if(root.left == null && root.right == null) {
        return 1;
    }
    return getLeafNodeCount2(root.left) +
            getLeafNodeCount2(root.right);
}

/*
获取第K层节点的个数
 */
int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
    if(root == null || k < 1) {
        return 0;
    }
    if(k == 1) {
        return 1;
    }
    return getKLevelNodeCount(root.left,k - 1) +
            getKLevelNodeCount(root.right,k - 1);
}

/*
 获取二叉树的高度
 时间复杂度：O(N)
 */
int getHeight(TreeNode root) {
    if(root == null){
        return 0;
    }
    int left = getHeight(root.left);
    int right = getHeight(root.right);
    return Math.max(left, right) + 1;
}


// 检测值为value的元素是否存在
TreeNode find(TreeNode root, char val) {
    if(root == null) {
       return null;
    }
    if(root.val == val) {
        return root;
    }
    TreeNode ret = find(root.left,val);
    if(ret != null) {
        return ret;
    }
    ret = find(root.right,val);
    if(ret != null) {
        return ret;
    }
    return null;
}

//层序遍历并实现分层
public List<List<Integer>> levelOrder2(TreeNode root) {
    List<List<Integer>> list = new LinkedList<>();
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    if(root == null) {
        return list;
    }
    queue.offer(root);
    while(!queue.isEmpty()) {
        int size = queue.size();
        List<Integer> level = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < size; i++) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            level.add((int) cur.val);
            if(cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
        list.add(level);
    }
    return list;
}

// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return false;
    }
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.offer(root);
    while(!queue.isEmpty()) {
        TreeNode cur = queue.poll();
        if(cur != null) {
            queue.offer(cur.left);
            queue.offer(cur.right);
        } else {
            break;
        }
    }
    while(!queue.isEmpty()) {
        TreeNode cur = queue.poll();
        if(cur != null) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}