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今天看算法分析是，看到一个这样的问题，就是在一堆数据中查找到第k个大的值。名称是：设计一组N个数，确定其中第k个最大值，这是一个选择问题，当然，解决这个问题的方法很多，本人在网上搜索了一番，查找到以下的方式，决定很好，推荐给大家。
所谓“第（前）k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第（前）k个数的问题。
解法1： 我们可以对这个乱序数组按照从大到小先行排序，然后取出前k大，总的时间复杂度为O(n*logn + k)。
解法2： 利用选择排序或交互排序，K次选择后即可得到第k大的数。总的时间复杂度为O(n*k)
解法3： 利用快速排序的思想，从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。这时有两种情况：
1. Sa中元素的个数小于k，则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；
2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。时间复杂度近似为O(n)
解法4： 二分[Smin,Smax]查找结果X，统计X在数组中出现，且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。时间复杂度平均情况为O(n*logn)
解法5：用O(4*n)的方法对原数组建最大堆，然后pop出k次即可。时间复杂度为O(4*n + k*logn)
解法6：维护一个k大小的最小堆，对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小，若堆顶较大，则不管，否则，弹出堆顶，将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)
解法7：利用hash保存数组中元素Si出现的次数，利用计数排序的思想，线性从大到小扫描过程中，前面有k-1个数则为第k大数，平均情况下时间复杂度O(n)
附注：
1. STL中可以用nth_element求得类似的第n大的数（由谓词决定），使用的是解法3中的思想，还可以用partial_sort对区间进行部分排序，得到类似前k大的数（由谓词决定），它采用的是解法5的思想。
2. 求中位数实际上是第k大数的特例。
《编程之美》2.5节课后习题：
1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
解答：上面的解法均适用，需要注意的是浮点数比较时和整数不同，另外求hashkey的方法也会略有不同。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
解答：如果把问题看做m-k+1个第k大问题，则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题，最好使用解法5或者解法7，总体复杂度较低。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法吗？
解答：要达到快速的更新，我们可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作达到O(logn)
4. 在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页，而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？
提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的K个文档，那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的K’个文档，那么K’应该如何取值，以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的，或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%（最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。
解答：正如提示中所说，可以让每台机器返回最相关的K'个文档，然后利用归并排序的思想，得到所有文档中最相关的K个。 最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布，这时每台机器只要K' = K / n （n为所有机器总数）；最坏情况，所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上，这时K'需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆，然后对堆顶元素实行归并排序。
5. 如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1, q2, …, qm，分别有相关性权重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？
解答：肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时，可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分，然后在全局的所有文档中在搜索部分。
或N-K+1元素最小堆，当新元素小于堆顶时无视，新元素大于堆顶时替换堆顶并更新堆。
问题：
从一个数组里面，找出第K大的数。
题目很简单，要想把第K个数找出来，其实也挺容易的。
第一种方法：无非就是先排序，比如用Merge Sort算法，整个算法复杂度为 O(NlgN), 然后找到第K个即可。
第二种方法：如果k很小，比如第五个最大的数，而整个数组的长度非常的大，那么，还有一种方法就是，我做k遍找最大的数，每做一遍，就把最大的放在数组的最后面，然后减少数组扫描的范围，就可以把第k大的数找出来，这样做的复杂度就是O(K*N)，在K很小的情况下，还是不错的。
第三种方法：我们可以借助quicksort的思想，把数组的值分成两部分，一部分比那个pivot大，一部分比pivot小，因为我们知道pivot在数组中的位置，所以比较k和pivot的位置就知道第k大的值在哪个范围，我们不断的进行recursion, 直到pivot就是第K大的值。时间复杂度，出乎意料，为O(N)，但是这是平均复杂度。 为何它的平均复杂度比quicksort的复杂度低呢？重要原因是quicksort要对pivot两边的子数组还要排序，而我们其实只需要对其中一个进行处理，所以复杂度更低。具体怎么推导，请参考算法导论。
但是本文讲的是另一个算法，叫做SELECT 算法，它能在时间复杂度为O(N)的情况下找出第K大的数。先把算法贴出来，然后再讲。
第一步：把数组分成\lfloor n/5 \rfool 这么多子数组，每个子数组里包含5个数，因为会有无法整出的可能，所以最后一个子数组会小于5.
第二步：用insertion sorting 把这5个数排序，然后找出中位数，也就是第3个。
第三步：把获得的中位数又排序，找出中位数的中位数。如果中位数的个数是偶数，那么取排好序的第 m/2 个数，m指的是中位数的个数。
第四步：然后呢，把原来的数组分成两个部分，一部分比那个“中位数的中位数”大，一部分比那个“中位数的中位数”小。我们可以假设左边的数大，右边的数小。然后我们可以得到“中位数的中位数”的位置i.
第五步：如果i = k, 那么那个“中位数的中位数”就是第k大的数。如果 i < k， 不用说，第k大的在“中位数的中位数”的右边，否则就在左边。我们一直recursely 这么做，那么就一定能够找到第K大的值了。
其实，算法还是比较容易懂得，关键的关键，是复杂度的分析。如果能够知道复杂度如何求出来的，那么，对算法本身就了解得更清楚。
要讲复杂度，首先看一个图。
图中的X 就是“中位数的中位数”， 而且箭头的方向是从大数指到小数。所以，我们可以知道，至少灰色区域的都比X大，这是整个复杂度分析的关键，而，其它点能否说它比X大，我们不能保证。而灰色区域里最多有多少个数呢？因为X是中位数的中位数，所以，比X大的中位数最少有 [(\lfloor n/5 \rfool) * (1/2) - 2] 个（这个值也是关键）, 这里减2是因为要去除X本身，第二呢，还要去除一个中位数---这个中位数所在的子数组个数小于5. 所以，最坏最坏的情况，第K大的值不在灰色区域里，那么我们就要对剩下部分进行不断的SELECT。剩余部分就是n - 3 [(\lfloor n/5 \rfool) * (1/2) - 2] = O(7n/10) .
整个过程中，第1,2,4步所需时间为O(n)， 注意第2步的复杂度不为O(n^2)，第3步的复杂度为 T(n/5)，第五步的复杂度为 T(7n/10)。
所以，复杂度的递归公式为： T(n) = T(n/5) + T(7n/10) + O(n), 算出来以后T(n) = O(n).
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