找出第k大的数[No. 64]

问题：

从一个数组里面，找出第K大的数。

题目很简单，要想把第K个数找出来，其实也挺容易的。

第一种方法：无非就是先排序，比如用Merge Sort算法，整个算法复杂度为 O(NlgN), 然后找到第K个即可。

第二种方法：如果k很小，比如第五个最大的数，而整个数组的长度非常的大，那么，还有一种方法就是，我做k遍找最大的数，每做一遍，就把最大的放在数组的最后面，然后减少数组扫描的范围，就可以把第k大的数找出来，这样做的复杂度就是O(K*N)，在K很小的情况下，还是不错的。

第三种方法：我们可以借助quicksort的思想，把数组的值分成两部分，一部分比那个pivot大，一部分比pivot小，因为我们知道pivot在数组中的位置，所以比较k和pivot的位置就知道第k大的值在哪个范围，我们不断的进行recursion, 直到pivot就是第K大的值。时间复杂度，出乎意料，为O(N)，但是这是平均复杂度。 为何它的平均复杂度比quicksort的复杂度低呢？重要原因是quicksort要对pivot两边的子数组还要排序，而我们其实只需要对其中一个进行处理，所以复杂度更低。具体怎么推导，请参考算法导论。

但是本文讲的是另一个算法，叫做SELECT 算法，它能在时间复杂度为O(N)的情况下找出第K大的数。先把算法贴出来，然后再讲。

第一步：把数组分成\lfloor n/5 \rfool 这么多子数组，每个子数组里包含5个数，因为会有无法整出的可能，所以最后一个子数组会小于5.

第二步：用insertion sorting 把这5个数排序，然后找出中位数，也就是第3个。

第三步：把获得的中位数又排序，找出中位数的中位数。如果中位数的个数是偶数，那么取排好序的第 m/2 个数，m指的是中位数的个数。

第四步：然后呢，把原来的数组分成两个部分，一部分比那个“中位数的中位数”大，一部分比那个“中位数的中位数”小。我们可以假设左边的数大，右边的数小。然后我们可以得到“中位数的中位数”的位置i.

第五步：如果i = k, 那么那个“中位数的中位数”就是第k大的数。如果 i < k， 不用说，第k大的在“中位数的中位数”的右边，否则就在左边。我们一直recursely 这么做，那么就一定能够找到第K大的值了。

其实，算法还是比较容易懂得，关键的关键，是复杂度的分析。如果能够知道复杂度如何求出来的，那么，对算法本身就了解得更清楚。

要讲复杂度，首先看一个图。

图中的X 就是“中位数的中位数”， 而且箭头的方向是从大数指到小数。所以，我们可以知道，至少灰色区域的都比X大，这是整个复杂度分析的关键，而，其它点能否说它比X大，我们不能保证。而灰色区域里最多有多少个数呢？因为X是中位数的中位数，所以，比X大的中位数最少有 [(\lfloor n/5 \rfool) * (1/2) - 2] 个（这个值也是关键）, 这里减2是因为要去除X本身，第二呢，还要去除一个中位数---这个中位数所在的子数组个数小于5.  所以，最坏最坏的情况，第K大的值不在灰色区域里，那么我们就要对剩下部分进行不断的SELECT。剩余部分就是n - 3 [(\lfloor n/5 \rfool) * (1/2) - 2] = O(7n/10) .

整个过程中，第1,2,4步所需时间为O(n)， 注意第2步的复杂度不为O(n^2)，第3步的复杂度为 T(n/5)，第五步的复杂度为 T(7n/10)。

所以，复杂度的递归公式为： T(n) =  T(n/5) + T(7n/10) + O(n), 算出来以后T(n) = O(n).