Ignatius's puzzle



Problem Description

Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if
no exists that a,then print "no".

 

Input

The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.

 

Output

The output contains a string "no",if you can't find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.

 

Sample Input

11
100
9999

 

Sample Output

22
no
43

 

Author

eddy

题意：

有一个函数：  f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x
给定一个非负的 k 值     求最小的非负的 a 值   使得对任意的整数x都能使
 f(x) 被   65 整除。

每输入一个k 值 ， 对应输出一个 a值  ，  若不存在a值 则输出 no 

(k, a 都是整型)

分析：

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：
 （1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)
（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))
（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))
（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有
k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)
代码：
#include<stdio.h>
int main(){
	int k,i,j,n;
	while(~scanf("%d",&k))
	{
		 for(i=1;i<66;i++) 
		 {
		  if(i*k%13==8&&i*k%5==2)
		{
			n=i;break;
			
		}
		else n=0;
	      }
	      if(n!=0)
	      printf("%d\n",n);
	      else printf("no\n");
	}
	return 0;
}